Der erweiterte Schulhof
AFB IIDer quadratische Schulhof hat die Seitenlänge \(x\) (in Metern). Bei der Sanierung wird er nach Osten um 4 m und nach Süden um 3 m verbreitert; es entsteht ein Rechteck (Material M1). Die Schulleitung möchte wissen, wie viel Fläche dabei hinzukommt.
Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu; erweitert wird nach zwei Seiten mit verschiedenen Maßen.
- Stelle einen Term für die neue Hoffläche als Produkt zweier Klammern auf und gib die Summenform an.
- Das Aufmaß ergibt \(x = 12\ \text{m}\). Berechne die neue Fläche mit beiden Termformen.
- Ermittle einen möglichst einfachen Term für den Flächenzuwachs und erläutere, welchen Teilstücken der Skizze seine Summanden entsprechen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Neue Länge: \(x + 4\). Neue Breite: \(x + 3\).
\(A = (x+4)\cdot(x+3)\)
\(A = x\cdot x + x\cdot 3 + 4\cdot x + 4\cdot 3 = x^2 + 3x + 4x + 12 = x^2 + 7x + 12\)
Die neue Fläche beträgt \((x^2 + 7x + 12)\ \text{m}^2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Produktform: \((12+4)\cdot(12+3) = 16\cdot 15 = 240\).
Summenform: \(12^2 + 7\cdot 12 + 12 = 144 + 84 + 12 = 240\).
Beide Wege ergeben \(240\ \text{m}^2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Alte Fläche: \(x^2\). Damit gilt
\(Z = (x^2 + 7x + 12) - x^2 = 7x + 12\)
Der Summand \(x^2\) entfällt — er ist der blaue alte Hof. Von \(7x\) gehören \(4x\) zum östlichen Streifen (4 m breit, \(x\) m lang) und \(3x\) zum südlichen Streifen (3 m breit, \(x\) m lang). Die 12 ist das orange Eckstück mit \(4\ \text{m}\cdot 3\ \text{m}\).
Für \(x = 12\): \(7\cdot 12 + 12 = 96\). Der Hof wächst um \(96\ \text{m}^2\) — die Probe \(240 - 144 = 96\) bestätigt das.
Die Tribüne der Sporthalle
AFB IIIIn der Sporthalle wird eine rechteckige Tribüne aufgebaut. Sie hat \((n+3)\) Reihen mit je \((n+5)\) Plätzen; die Zahl \(n\) hängt davon ab, wie viele Module aufgestellt werden (Material M2). Für das nächste Turnier soll die Tribüne wachsen. Zwei Vorschläge liegen auf dem Tisch: eine zusätzliche Reihe oder ein zusätzlicher Platz je Reihe.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Anzahl der Reihen | n + 3 |
| Plätze je Reihe | n + 5 |
| Modulzahl beim Turnier | n = 9 |
Alle Reihen sind gleich lang; es bleiben keine Plätze frei.
- Stelle einen Term für die Platzzahl als Produkt auf und gib die Summenform an.
- Beim Turnier gilt \(n = 9\). Berechne die Platzzahl mit beiden Termformen.
- Vergleiche die beiden Vorschläge rechnerisch und entscheide begründet, welcher mehr Plätze bringt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P = (n+3)\cdot(n+5)\)
\(P = n\cdot n + n\cdot 5 + 3\cdot n + 3\cdot 5 = n^2 + 5n + 3n + 15 = n^2 + 8n + 15\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Produktform: \((9+3)\cdot(9+5) = 12\cdot 14 = 168\).
Summenform: \(9^2 + 8\cdot 9 + 15 = 81 + 72 + 15 = 168\).
Die Tribüne bietet 168 Plätze.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Vorschlag 1 (eine Reihe mehr): \((n+4)(n+5) = n^2 + 5n + 4n + 20 = n^2 + 9n + 20\)
Vorschlag 2 (ein Platz je Reihe mehr): \((n+3)(n+6) = n^2 + 6n + 3n + 18 = n^2 + 9n + 18\)
Die Differenz beträgt \((n^2+9n+20) - (n^2+9n+18) = 2\). Vorschlag 1 bringt also für jedes \(n\) genau zwei Plätze mehr — unabhängig von der Größe der Tribüne.
Kontrolle für \(n = 9\): Vorschlag 1 ergibt \(13\cdot 14 = 182\), Vorschlag 2 ergibt \(12\cdot 15 = 180\).
Anschaulich: Eine zusätzliche Reihe bringt \(n+5\) Plätze, ein zusätzlicher Platz je Reihe nur \(n+3\) Plätze. Da die Reihen länger sind als die Tribüne tief ist, lohnt sich die zusätzliche Reihe. Zu wählen ist also Vorschlag 1 — sofern der Platz vor der Halle das zulässt.