Gleichungen mit Klammern: Übungen – Mathe Klasse 8

A1

Regel-Check: Gleichungen mit Klammern

AFB I

Welche Aussagen über das Lösen von Gleichungen mit Klammern stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Drei klassische Fehler stecken in den falschen Antworten: der Faktor wird nur auf den ersten Summanden angewendet (5·(x+2) = 5x+2 statt 5x+10), es wird nur auf einer Seite gerechnet (dann kippt das Gleichgewicht und die Lösung stimmt nicht mehr), und die Multiplikation mit 0 macht aus jeder Gleichung 0 = 0 — die Information über x geht dabei verloren.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen rund um Ausmultiplizieren, Umformen und Probe.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die beiden falschen Aussagen zeigen die häufigsten Stolperstellen: das übersehene „Minus mal Minus“ beim negativen Faktor und die Probe in der falschen Zeile. Beides führt dazu, dass ein Fehler unentdeckt bleibt.

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zuerst wirst du die Klammern los: Du multiplizierst den Faktor mit jedem Summanden — das nennt man . Steht ein Minus vor der Klammer, drehen sich dabei alle um. Danach darfst du gleichartige Glieder . Jede Umformung führst du auf gleichzeitig durch. Zum Schluss machst du die .

Der „Nenner“ bleibt übrig — Brüche spielen hier keine Rolle. Wichtiger ist die Reihenfolge: Wer zusammenfasst, bevor die Klammer aufgelöst ist, addiert Terme, die noch gar nicht gleichartig sind.

A4

Schritt-Sortierer: erlaubt oder nicht?

AFB I

Klammer auflösen, erlaubte Äquivalenzumformung oder ein verbotener Schritt? Sortiere die Karten in die passenden Körbe.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Klammer auflösen

2Äquivalenzumformung

3nicht erlaubt

Die drei verbotenen Karten stehen für drei echte Fehlerquellen: Durch 0 teilen ist nie erlaubt; eine Umformung nur auf einer Seite zerstört die Gleichheit; und „5x + 2“ entsteht, wenn der Faktor nicht auf alle Summanden der Klammer angewendet wird.

A5

Rechenweg in Ordnung bringen

AFB I

In welcher Reihenfolge löst du eine Gleichung mit Klammern?

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1 Alle Klammern ausmultiplizieren: Faktor mal jeden Summanden.

2 Auf jeder Seite gleichartige Glieder zusammenfassen.

3 Alle x-Glieder auf die eine, alle reinen Zahlen auf die andere Seite bringen.

4 Durch die Zahl vor dem x teilen, damit x allein steht.

5 Probe: die gefundene Zahl in die Ausgangsgleichung einsetzen.

Die Schritte 1 und 2 werden am häufigsten vertauscht: Solange eine Klammer steht, sind 4·(x + 3) und 2x nicht gleichartig — man darf sie also noch nicht zusammenfassen.

A6

Rechenkette vorwärts

AFB II

Löse Schritt für Schritt: 4 · (x + 3) − 2x = 22

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Multipliziere aus: 4 · (x + 3) ergibt 4x + ? — welche Zahl steht dort?
Fasse zusammen: 4x + 12 − 2x = 22. Welche Zahl steht jetzt vor dem x?
Rechne auf beiden Seiten − 12. Welche Zahl steht dann rechts vom Gleichheitszeichen?
Teile beide Seiten durch 2. Wie groß ist x?

Probe: 4 · (5 + 3) − 2 · 5 = 32 − 10 = 22 ✓. Der typische Fehler steckt in Schritt 2 — wer die 12 mit dem 2x verrechnet, addiert eine reine Zahl zu einem x-Glied. Zusammenfassen darf man nur Gleichartiges.

A7

Blitzrechnung

AFB I

Löse die Gleichung 6 · (x − 4) = 30 und gib die Lösung ein.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

30 : 6 = 5 geht glatt auf, also der kurze Weg: x − 4 = 5, daraus x = 9. Wer stattdessen ausmultipliziert, landet bei 6x − 24 = 30 und kommt über 6x = 54 zum selben Ergebnis. Ein häufiger Fehler ist hier 30 − 4: Die 4 steckt in der Klammer und ist mit 6 multipliziert, sie lässt sich nicht einfach herüberziehen.

A8

Schätz-Regler: Trikots für den Verein

AFB II

Ein Verein bestellt für jedes seiner 15 Mitglieder ein Trikot (Preis x) und eine Trinkflasche für 4 €. Die Rechnung lautet 435 €, also gilt 15 · (x + 4) = 435. Schätze den Preis eines Trikots — erst schieben, dann rechnen!

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

0 €60 €

435 : 15 = 29, also x + 4 = 29 und damit x = 25 €. Viele schätzen zu hoch, weil sie die 4 € vergessen und 435 : 15 direkt als Trikotpreis nehmen — die Trinkflasche steckt aber in jeder der 15 Portionen mit drin.

A9

Vorzeichen-Memory

AFB I

Finde die sechs Paare aus Klammerterm und ausmultiplizierter Form.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Vergleiche die Paare 2 und 6: Bei −3 · (x + 4) werden beide Summanden negativ, bei −2 · (3x − 1) wird der zweite wieder positiv. Wer nur das erste Vorzeichen umdreht und den Rest stehen lässt, produziert genau die falschen Zwillingskarten.

A10

Kreuztabelle: Welche Lösung passt?

AFB II

Fünf Gleichungen, drei mögliche Lösungen. Kreuze für jede Zeile die richtige Spalte an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.

Gleichung	x = 2	x = 5	x = 8
2 · (x + 4) = 24
3 · (x − 1) = 12
5 · (x + 3) = 25
4 · (x + 2) = 40
6 − (x − 1) = 2

Du musst nicht jede Gleichung ausrechnen — Einsetzen und Nachprüfen geht schneller. Die letzte Zeile ist die Falle: 6 − (x − 1) wird zu 6 − x + 1 = 7 − x. Wer das Minus nur auf das x anwendet, erhält 5 − x und tippt fälschlich auf x = 3.

A11

Term oder Gleichung — oder beides?

AFB II

Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur Term

2 beide

3 nur Gleichung

Die Mitte ist der Grund, warum du das Distributivgesetz aus UK1 hier wiederverwendest: Ausmultiplizieren und Zusammenfassen sind Term-Umformungen und funktionieren in einer Gleichung genauso — aber nur die Gleichung darf man „auf beiden Seiten“ verändern. Wer bei einem reinen Term auf beiden Seiten etwas abzieht, verändert seinen Wert.

A12

Gleichung trifft Lösung

AFB II

Verbinde jede Gleichung mit ihrer Lösung — Kopfrechnen genügt.

Klicke links eine Gleichung an und dann rechts ihre Lösung — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Bei allen fünf Gleichungen geht das Teilen glatt auf — das ist der schnellste Weg. Achte auf die zweite: 9 : (−3) = −3, also x − 2 = −3 und x = −1. Wer das Minus des Faktors unterschlägt, erhält x = 5 und verbindet falsch.

A13

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Zeilen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 4 ist der häufigste Fehler in Klassenarbeiten: Die Minusklammer wird nicht auf alle Summanden angewendet. Eine Probe mit einer beliebigen Zahl entlarvt ihn sofort — für x = 1 ist 8 − (1 + 5) = 2, aber 8 − 1 + 5 = 12.

A14

Nikos Rechenweg

AFB II

Begleite Niko durch die Gleichung 7 · (x − 3) − 2x = 19 — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Der komplette Weg: ausmultiplizieren → zusammenfassen → Zahlen auf die andere Seite → durch den Faktor vor dem x teilen → Probe. Der Klassiker in Schritt 4 ist „5 abziehen“ statt „durch 5 teilen“ — Gegenrechnung ist immer die Umkehrung der Rechenart, die dort steht.

A15

Entscheidungsbaum: Welcher Weg ist der schnellste?

AFB II

Situation: Du sollst 8 · (x − 5) = 32 lösen. Finde mit dem Baum den passenden Weg.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Bei 8 · (x − 5) = 32 lautet der Weg: kein Minus vor der Klammer, nichts außerhalb der Klammer, und 32 : 8 = 4 geht glatt auf — also teilen: x − 5 = 4, x = 9. Beide Wege führen zum selben Ergebnis; der Baum entscheidet nur, welcher weniger Fehlerquellen hat.

A16

Was passiert mit der Lösung?

AFB III

Ausgangspunkt ist 3 · (x + 2) = 18 mit der Lösung x = 4. Schätze für jede Zeile ein, was mit der Lösung passiert — ohne vollständig zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = Lösung wird kleiner, 2 = Lösung bleibt x = 4, 3 = Lösung wird größer, 4 = die Gleichung hat gar keine Lösung, 5 = jede Zahl ist Lösung. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = kleiner5 = jede Zahl

Auf beiden Seiten wird 5 addiert: 3 · (x + 2) + 5 = 23.

Nur links wird 5 addiert: 3 · (x + 2) + 5 = 18.

Beide Seiten werden mit 2 multipliziert: 6 · (x + 2) = 36.

Rechts steht nun 3x + 6: 3 · (x + 2) = 3x + 6.

Rechts steht nun 3x + 10: 3 · (x + 2) = 3x + 10.

Zeile 2 zeigt den wichtigsten Punkt: Wer nur auf einer Seite rechnet, macht keine Äquivalenzumformung — die Lösung rutscht auf 7/3. In den Zeilen 4 und 5 steht rechts derselbe Term wie links ausmultipliziert: einmal identisch (jede Zahl passt), einmal um 4 verschoben (keine Zahl passt).

A17

Musterlösung zusammenbauen

AFB II

Baue die vollständige Musterlösung für 5 · (x + 2) = 45 — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Die beiden Fallen sind die zwei häufigsten Fehler: Der Faktor wird nur auf den ersten Summanden angewendet (5x + 2 statt 5x + 10), und die Umformung wird nur links ausgeführt (rechts bleibt die 45 stehen). So sieht dagegen eine volle Punktzahl aus: Gleichung, Ausmultiplizieren, Umformen mit Strichnotation, Ergebnis, Probe.

A18

Rechenkette: x auf beiden Seiten

AFB III

Diesmal steht auf beiden Seiten ein x: 3 · (x + 4) = 5 · (x − 2) + 10. Arbeite dich Schritt für Schritt vor.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Multipliziere links aus: 3 · (x + 4) ergibt 3x + ? — welche Zahl steht dort?
Rechts: 5 · (x − 2) + 10 ergibt 5x − 10 + 10. Welche Zahl bleibt neben dem 5x übrig?
Rechne auf beiden Seiten − 3x. Es bleibt 12 = ? · x — welche Zahl steht vor dem x?
Teile beide Seiten durch 2. Wie groß ist x?
Probe, linke Seite: Was ergibt 3 · (6 + 4)?

Rechte Seite zur Probe: 5 · (6 − 2) + 10 = 20 + 10 = 30 ✓. Der typische Fehler steckt in Schritt 3: Wer nur links − 3x rechnet und rechts stehen lässt, verliert die Gleichheit. Das x muss man wie jede andere Zahl auf beiden Seiten abziehen.

A19

Zwei Klammern, eine Lösung

AFB II

Löse die Gleichung 4 · (x + 5) − 3 · (x + 2) = 19 und gib die Lösung ein.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Beide Klammern einzeln auflösen: 4x + 20 − 3x − 6 = 19, zusammengefasst x + 14 = 19, also x = 5. Die zweite Klammer ist die Fehlerquelle — das Minus davor macht aus 3 · (x + 2) den Term −3x − 6, nicht −3x + 6. Probe: 4 · 10 − 3 · 7 = 40 − 21 = 19 ✓

A20

Die x-gleich-3-Familie

AFB III

Welche dieser Gleichungen haben die Lösung x = 3? Es sind mehrere!

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Am schnellsten geht es durch Einsetzen: x = 3 probieren und schauen, ob beide Seiten denselben Wert haben. Die zweite Gleichung ist die Falle — wer 9 − (x + 2) zu 9 − x + 2 macht, rechnet 11 − x = 4 und erhält x = 7. Die Probe zeigt sofort: 9 − (7 + 2) = 0, nicht 4.

A21

Drei einfache Gleichungen

AFB I

Löse die Gleichungen. Wähle den Weg, der dir leichter fällt.

a) 2·(x+3) = 14 → x =

b) 5·(x−1) = 20 → x =

c) 4·(x+7) = 32 → x =

Strategiewahl: Prüfe, ob die Zahl rechts ohne Rest durch den Faktor teilbar ist. Bei a) 14:2 = 7 ✓ · b) 20:5 = 4 ✓ · c) 32:4 = 8 ✓Wenn ja → Weg 2 (durch Faktor teilen). Spart einen Schritt.

Rechenweg a) mit Weg 2: 2·(x+3) = 14 | :2 → x+3 = 7 | −3 → x = ?

Lösung: a) x = 4 · b) x = 5 · c) x = 1

A22

Negative Klammer

AFB I

Achtung — der Faktor vor der Klammer ist negativ!

−2·(x+3) = 10 → x =

Weg 1 (sicher): Multipliziere zuerst aus: −2·(x+3) = −2x − 6.Vergiss nicht: das Minus geht in jeden Summanden der Klammer.

Weiter: −2x − 6 = 10 | +6 → −2x = 16 | :(−2) → x = ?

Lösung: x = −8. Probe: −2·(−8+3) = −2·(−5) = 10 ✓

A23

Minus VOR der Klammer

AFB II

Hier steht ein Minus direkt vor der Klammer — kein Faktor sichtbar.

a) 5 − (x+2) = 1 → x =

b) 10 − 3·(x−1) = 4 → x =

Idee: Ein Minus vor der Klammer ist wie ein −1 davor. −(x+2) = −x − 2.Alle Vorzeichen in der Klammer kippen.

Rechenweg a): 5 − x − 2 = 1 → 3 − x = 1 | +x − 1 → x = 2.
Rechenweg b): 10 − 3x + 3 = 4 → 13 − 3x = 4 | −13 → −3x = −9 | :(−3) → x = 3.

Lösung: a) x = 2 · b) x = 3

A24

Zwei Klammern in einer Gleichung

AFB II

Hier stehen zwei Klammern. Multipliziere beide aus und fasse dann zusammen.

2·(x+3) + 3·(x−1) = 12 → x =

Schritt 1: Multipliziere jede Klammer einzeln aus. 2·(x+3) = 2x+6 · 3·(x−1) = 3x−3.Erst alle Klammern weg, dann zusammenfassen — sonst kommst du durcheinander.

Zusammenfassen: 2x + 6 + 3x − 3 = 12 → 5x + 3 = 12 | −3 → 5x = 9 | :5 → x = 9/5 = 1,8? Nein, rechne nach: 5x = 9, x = 1,8. Stimmt das? Probe: 2·(1,8+3) + 3·(1,8−1) = 2·4,8 + 3·0,8 = 9,6 + 2,4 = 12 ✓

Lösung: x = 1,8 (also 9/5). Tippe „1,8“ oder „1.8“ ein.

A25

Mix — Klammer oder nicht?

Mix

Achtung: Nicht jede Gleichung braucht eine Klammerauflösung! Manchmal reichen einfache Äquivalenzumformungen. Entscheide zuerst, was du brauchst.

a) 3·(x+2) = 18 → x =

b) 3x + 6 = 18 → x =

c) 7·(x−2) = 21 → x =

d) x + 8 = 13 → x =

Warum hilft dieses „Mischen“ beim Lernen?

Im echten Test steht nicht dabei „jetzt kommt eine Klammeraufgabe“. Wenn du immer nur eine Sorte hintereinander übst, lernst du nur das Rechnen — nicht das Entscheiden. Vergleiche a) und b): beide haben dieselbe Lösung x = 4, aber unterschiedliche Form. Vergleiche c) und d): nur eine braucht Klammerauflösung. (Studie: Rohrer 2007 — gemischtes Üben verbessert Transferleistung um 43 %.)

A26

Modellieren — Text in Gleichung

AFB III

Übersetze den Satz in eine Gleichung mit Klammern und löse sie:

„Das Dreifache der Summe aus x und 5 ist gleich 27.“

Gleichung:

x =

Wie übersetzt man „das Dreifache der Summe aus x und 5“?

„Summe aus x und 5“ = (x + 5) — also mit Klammer, weil es eine Zahl ist. „Das Dreifache davon“ = 3 · (x + 5). Die Klammer ist hier entscheidend! „Das Dreifache von x plus 5“ hieße dagegen 3x + 5 — ohne Klammer.

A27

Welche Strategie ist schneller?

AFB III

Gegeben: 7 · (x − 2) = 35. Begründe, welcher Weg hier schneller zum Ziel führt.

Weg (1 oder 2)?

Begründung

Weg 2 ist schneller. Begründung: 35 ist glatt durch 7 teilbar (35 : 7 = 5). Also bekommst du sofort x − 2 = 5 → x = 7. Weg 1 würde dich erst zu 7x − 14 = 35 führen, dann +14, dann :7 — drei Schritte statt zwei. Faustregel: Wenn die rechte Seite durch den Faktor ohne Rest teilbar ist → Weg 2.

A28

Kniffel: Wann gibt es keine Lösung?

AFB III

Annika behauptet: „Die Gleichung 2·(x+3) = 2x + 5 hat keine Lösung.“ Hat sie recht? Begründe.

Antwort

Ja, sie hat recht. Ausmultipliziert: 2x + 6 = 2x + 5. Wenn du auf beiden Seiten −2x rechnest, steht da: 6 = 5. Das ist eine falsche Aussage — egal welches x du einsetzt. Die Lösungsmenge ist also leer: L = { }. Solche Gleichungen lernst du in UK6 noch genauer kennen.

A29

Gemischt — erst entscheiden, dann rechnen

AFB III

Hier ist alles gemischt: mal steht ein Faktor vor der Klammer, mal ein Minus, mal gar keine Klammer, mal zwei Klammern. Entscheide bei jeder Teilaufgabe zuerst, was du tun musst, und löse dann nach x auf.

a) 5·(x + 1) = 35 → x =

b) 2x + 9 = 23 → x =

c) 14 − (x − 2) = 6 → x =

d) 3·(x + 2) − 2·(x − 1) = 12 → x =

Erste Frage bei jeder Teilaufgabe: Steht überhaupt eine Klammer da? Nur dann wird ausmultipliziert oder geteilt.Bei b) gibt es keine Klammer — hier reichen zwei Äquivalenzumformungen: −9, dann :2. Wer trotzdem nach einer Klammer sucht, verliert Zeit.

Bei c) und d) auf das Minus achten: 14 − (x − 2) = 14 − x + 2 = 16 − x. Bei d) wird aus −2·(x − 1) der Term −2x + 2, also zusammen 3x + 6 − 2x + 2 = x + 8.

Lösung: a) x = 6 · b) x = 7 · c) x = 10 · d) x = 4

Warum ist diese gemischte Übung schwerer als eine Seite mit lauter gleichen Aufgaben?

Wenn alle Aufgaben gleich aussehen, schaltest du ab der zweiten in den Automatikmodus. In der Klassenarbeit steht aber nicht dabei, welcher Weg gemeint ist. Hier musst du jedes Mal neu entscheiden: Klammer da oder nicht? Faktor oder nur ein Minus? Genau diese Entscheidung wird später abgefragt. Mach bei jeder Teilaufgabe die Probe — sie kostet zehn Sekunden und fängt Vorzeichenfehler zuverlässig ab.

A30

Trickaufgabe — warum findet Lea kein x?

Mix

In einer Klassenarbeit steht: 6·(x − 2) = 3·(2x − 4). Lea multipliziert beide Seiten aus, formt um — und am Ende steht bei ihr nur noch 0 = 0. Sie denkt, sie habe sich verrechnet. Was ist hier wirklich los?

Was musst du erkennen, bevor du weiterrechnest?

Lea hat alles richtig gemacht. Links: 6·(x − 2) = 6x − 12. Rechts: 3·(2x − 4) = 6x − 12. Auf beiden Seiten steht derselbe Term — die Gleichung ist für jede Zahl x wahr. Probe mit x = 1: 6·(−1) = −6 und 3·(−2) = −6 ✓. Probe mit x = 10: 6·8 = 48 und 3·16 = 48 ✓. Die Lösungsmenge enthält also alle Zahlen, nicht keine. Der Unterschied zu A28: Dort blieb am Ende eine falsche Aussage (6 = 5) stehen — dann gibt es gar keine Lösung. Bleibt dagegen eine wahre Aussage (0 = 0) übrig, passt jede Zahl.

Diese Aufgabe ist absichtlich knifflig: Sie trainiert, dass „x fällt weg“ kein Rechenfehler ist, sondern selbst schon das Ergebnis — du musst nur richtig lesen, was übrig bleibt.

Übungen: Gleichungen mit Klammern lösen

Übungsaufgaben