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TextaufgabenGleichungen mit Klammern lösen

Zwei Sachaufgaben zum Lösen von Klammergleichungen — die Busfahrt zum Schwimmbad und das Beet im Schulgarten.

1

Die Busfahrt zum Schwimmbad

AFB II

Vier achte Klassen fahren gemeinsam ins Schwimmbad. Alle vier Klassen sind gleich groß; jede hat \(x\) Kinder. Jedes Kind zahlt 3,50 € für den Eintritt, außerdem zahlt jede Klasse 8 € Pauschale für den Anhänger mit der Ausrüstung (Material M1). Auf der Sammelrechnung stehen 452 €.

M1Die Sammelrechnung
PostenBetrag
Eintritt je Kind3,50 €
Pauschale je Klasse8,00 €
Anzahl der Klassen4
Rechnungsbetrag452,00 €

Die Pauschale fällt je Klasse an, der Eintritt je Kind.

  1. Stelle eine Gleichung mit einer Klammer für die Klassenstärke \(x\) auf.
  2. Löse die Gleichung und notiere zu jeder Zeile die Umformung.
  3. Im folgenden Jahr beträgt der Rechnungsbetrag bei gleichen Preisen 494 €. Bestimme die Klassenstärke und überprüfe sie durch eine Probe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Überlege zuerst, was eine Klasse zahlt — dieser Ausdruck gehört in die Klammer. Der Faktor 4 steht davor, weil vier gleiche Klassen fahren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Eine Klasse zahlt \(3{,}5x + 8\) Euro. Für vier Klassen gilt

\(4\cdot(3{,}5x + 8) = 452\)

Hinweis zu Aufgabe b)
Multipliziere zuerst die Klammer aus. Danach bringst du die Zahl ohne Variable auf die andere Seite und teilst durch den Faktor vor \(x\).Alternativ darfst du auch zuerst durch 4 teilen — beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(4\cdot(3{,}5x + 8) = 452\)

\(14x + 32 = 452 \;\;|\; -32\)

\(14x = 420 \;\;|\; :14\)

\(x = 30\)

Jede Klasse hat 30 Kinder, insgesamt fahren also 120 Kinder mit.

Hinweis zu Aufgabe c)
Der Rechenweg ist derselbe wie in b). Bei der Probe setzt du deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung mit Klammer ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(4\cdot(3{,}5x + 8) = 494\)

\(14x + 32 = 494 \;\;|\; -32\)

\(14x = 462 \;\;|\; :14\)

\(x = 33\)

Probe: \(4\cdot(3{,}5\cdot 33 + 8) = 4\cdot(115{,}5 + 8) = 4\cdot 123{,}5 = 494\) — die Rechnung stimmt. Die Klassen sind mit 33 Kindern also je drei Kinder größer als im Vorjahr.

2

Das neue Beet im Schulgarten

AFB III

Der Schulgarten bekommt ein rechteckiges Hochbeet. Es soll 4 m länger als breit werden, und der Bausatz für die Umrandung reicht für genau 46 m Umfang (Material M2). In der Garten-AG schlägt jemand vor: „Nehmen wir einfach einen Bausatz für 50 m Umfang, dann wird das Beet 2 m breiter.“

M2Die Planung des Beetes
HochbeetUmfang 46 mLänge = b + 4Breite = bDer Umfang ist die Summealler vier Seiten.Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Gesucht sind Breite und Länge des Beetes in Metern.

  1. Stelle eine Gleichung mit einer Klammer für die Breite \(b\) auf.
  2. Löse die Gleichung und gib Länge und Breite des Beetes an.
  3. Prüfe den Vorschlag aus der Garten-AG und begründe dein Ergebnis allgemein.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Umfang eines Rechtecks ist \(2\cdot(\text{Breite} + \text{Länge})\). Die Länge lässt sich mit derselben Variablen ausdrücken wie die Breite.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Breite \(b\), Länge \(b + 4\). Für den Umfang gilt

\(2\cdot(b + (b+4)) = 46\)

oder gleichwertig \(2\cdot(2b + 4) = 46\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Fasse zuerst innerhalb der Klammer zusammen, multipliziere dann aus und forme um. Denke daran, am Ende auch die Länge anzugeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(2\cdot(2b + 4) = 46\)

\(4b + 8 = 46 \;\;|\; -8\)

\(4b = 38 \;\;|\; :4\)

\(b = 9{,}5\)

Das Beet ist 9,5 m breit und \(9{,}5 + 4 = 13{,}5\) m lang. Probe: \(2\cdot(9{,}5 + 13{,}5) = 2\cdot 23 = 46\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne den Fall mit 50 m Umfang genauso durch wie b) und vergleiche die Breiten. Für die allgemeine Begründung: Überlege, mit welchem Faktor die Breite in der ausmultiplizierten Gleichung steht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit 50 m Umfang gilt \(4b + 8 = 50\), also \(4b = 42\) und \(b = 10{,}5\). Das Beet wird demnach nur 1 m breiter, nicht 2 m. Der Vorschlag ist falsch.

Allgemein: Aus \(2\cdot(2b+4) = U\) folgt \(4b + 8 = U\) und damit \(b = \dfrac{U-8}{4}\). Weil durch 4 geteilt wird, führt jeder zusätzliche Meter Umfang nur zu 25 cm mehr Breite — 4 m mehr Umfang ergeben also genau 1 m mehr Breite.

Das leuchtet auch ohne Rechnung ein: Der zusätzliche Umfang verteilt sich auf vier Seiten. Wer 2 m mehr Breite möchte, braucht 8 m mehr Umfang, also einen Bausatz für 54 m; das Beet wäre dann 11,5 m breit und 15,5 m lang.