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Übungen: Distributivgesetz — Ausmultiplizieren

Das Distributivgesetz öffnet die Klammer: a·(b + c) = a·b + a·c. Der Faktor wird auf jeden Summanden verteilt.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Regel-Check
AFB I

Welche Aussagen über das Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Klassiker ist „5 · (x + 2) = 5x + 2“: Die 2 wird vergessen, richtig ist 5x + 10. Und ausmultiplizieren ändert nur die Schreibweise, nie den Wert — setz eine Zahl für x ein und vergleiche.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Faktor, Klammer und Vorzeichen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: jeder Summand wird multipliziert, und das Vorzeichen gehört immer zum Summanden dahinter. Wer das Minus mitnimmt, macht bei negativen Faktoren keine Fehler mehr.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Ausmultiplizieren steht vor der ein . Er wird auf alle in der Klammer . Ist er negativ, dreht sich bei jedem Summanden das um.

Der „Nenner“ bleibt übrig — er gehört zur Bruchrechnung und hat mit dem Distributivgesetz nichts zu tun. Verwechsle „Faktor“ (steht vor der Klammer) nicht mit „Summand“ (steht in der Klammer).
A4
Term-Sortierer
AFB I

Produkt mit Klammer, fertige Summe oder einzelnes Produkt? Sortiere die Karten in die passenden Körbe.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Produkt mit Klammer
2Summe aus zwei Gliedern
3einzelnes Glied
Nur bei den Karten aus Korb 1 gibt es überhaupt etwas auszumultiplizieren. Korb 2 zeigt das Ergebnis danach, Korb 3 sind einzelne Produkte ohne Plus- oder Minuszeichen — daran erkennst du, dass nichts mehr zu tun ist.
A5
Rechenweg in Ordnung bringen
AFB I

So löst du −4 · (3x − 5) Schritt für Schritt auf. Bring die Karten in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Den Faktor vor der Klammer bestimmen: −4.
2 Die Summanden mit ihren Vorzeichen notieren: +3x und −5.
3 Erstes Teilprodukt: (−4) · 3x = −12x.
4 Zweites Teilprodukt: (−4) · (−5) = +20.
5 Beide Teilprodukte zusammenschreiben: −12x + 20.
Der entscheidende Schritt ist Nummer 2: Wer das Vorzeichen nicht zum Summanden dazunimmt, rechnet später (−4) · 5 statt (−4) · (−5) und landet bei −20 statt +20.
A6
Rechenkette vorwärts
AFB II

Gegeben ist der Term 7 · (x + 4). Setze x = 6 ein und arbeite dich Schritt für Schritt vor.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Erstes Teilprodukt: Wie groß ist 7 · x für x = 6?  
  2. Zweites Teilprodukt: Wie groß ist 7 · 4?  
  3. Addiere beide Teilprodukte: Welchen Wert hat 7x + 28 für x = 6?  
  4. Probe auf dem anderen Weg: rechne zuerst 6 + 4 in der Klammer und multipliziere dann mit 7.  
Beide Wege führen zu 70 — genau das behauptet das Distributivgesetz. Diese Zahlenprobe ist dein bester Fehlerfinder: Kommt bei „ausmultiplizieren“ und „erst Klammer rechnen“ etwas Verschiedenes heraus, hast du dich verrechnet.
A7
Blitzrechnung
AFB I

Multipliziere 8 · (x + 9) aus. Wie lautet die Zahl, die am Ende ohne x steht?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
8 · (x + 9) = 8x + 72. Wer hier 9 einträgt, hat die 9 nur abgeschrieben statt sie mit 8 zu multiplizieren — das ist der häufigste Fehler beim Ausmultiplizieren.
A8
Schätz-Regler: Klassenkasse
AFB II

12 Kinder gehen ins Schwimmbad. Jedes zahlt 9 € Eintritt und 4 € für den Bus. Schätze die Gesamtkosten — erst schieben, dann rechnen!

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 €400 €
12 · (9 + 4) = 12 · 13 = 156 € — oder ausmultipliziert: 12 · 9 + 12 · 4 = 108 + 48 = 156 €. Wer nur 12 · 9 = 108 schätzt, hat einen Posten vergessen: genau der Fehler, den man beim Ausmultiplizieren auch mit Buchstaben macht.
A9
Term-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Klammerterm und ausmultiplizierter Form.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Zwei Paare lohnen einen zweiten Blick: x · (x + 7) = x² + 7x — der Faktor darf eine Variable sein. Und −1 · (m − 9) = −m + 9 zeigt, dass ein Minus vor der Klammer alle Vorzeichen umdreht.
A10
Kreuztabelle: Welcher Term passt?
AFB II

Fünf Terme, drei mögliche Ergebnisse. Kreuze für jede Zeile die richtige Spalte an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Term6x + 186x + 36x − 18
6 · (x + 3)
6 · (x − 3)
3 · (2x + 6)
−6 · (−x + 3)
6 · x + 3
Zeile 5 ist die Falle: Ohne Klammer gehört die 3 gar nicht zum Produkt — 6 · x + 3 bleibt 6x + 3. Und Zeile 4 zeigt, dass zwei Minuszeichen ein Plus ergeben: (−6) · (−x) = +6x, aber (−6) · 3 = −18.
A11
Ausmultiplizieren oder Ausklammern — oder beides?
AFB II

Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Ausmultiplizieren
2 beide
3 nur Ausklammern
Ausmultiplizieren und Ausklammern sind dieselbe Gleichung, nur in verschiedene Richtungen gelesen. In der Mitte steht deshalb alles, was für beide Richtungen gilt — vor allem: Der Wert des Terms ändert sich nie.
A12
Vorzeichen-Duell
AFB II

Vier Terme unterscheiden sich nur durch Vorzeichen. Verbinde jeden mit seinem ausmultiplizierten Ergebnis.

Klicke links einen Term an und dann rechts sein Ergebnis — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Denk in zwei getrennten Rechnungen: erst Vorzeichen (Minus mal Minus gibt Plus), dann Zahlen. Wer beides gleichzeitig macht, vertauscht leicht −4x + 20 und −4x − 20.
A13
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Zeilen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler haben dieselbe Ursache: Ein Summand wurde einfach abgeschrieben statt multipliziert. Zähl vor dem Aufschreiben nach — so viele Summanden in der Klammer, so viele Teilprodukte im Ergebnis.
A14
Jonas' Rechenweg
AFB II

Begleite Jonas beim Ausmultiplizieren von −5 · (2x − 3) — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der komplette Weg: Vorzeichen zum Summanden ziehen → erstes Teilprodukt → zweites Teilprodukt → zusammenschreiben. Wer Schritt 3 überspringt, landet beim Klassiker −10x − 15.
    A15
    Entscheidungsbaum: Was tust du mit dem Term?
    AFB II

    Situation: Vor dir steht der Term 7 · (2a + 5b − 1). Finde mit dem Baum heraus, was zu tun ist.

    Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
      Wichtig ist die zweite Frage: Steht in der Klammer nur ein einziges Glied, gibt es nichts zu verteilen. Das Distributivgesetz braucht mindestens zwei Summanden — sonst ist die Klammer bloß Dekoration.
      A16
      Was passiert mit dem Wert?
      AFB III

      Ausgangsterm ist 4 · (x + 3). Schätze für jede Zeile ein, wie sich sein Wert verändert — ohne zu rechnen.

      Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halb so groß, 2 = bleibt gleich, 3 = doppelt so groß, 4 = dreimal so groß, 5 = viermal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
      1 = halb so groß5 = viermal so groß
      Der Faktor vor der Klammer wird von 4 auf 8 erhöht, die Klammer bleibt.
      Beide Summanden in der Klammer werden verdoppelt: aus (x + 3) wird (2x + 6). Der Faktor 4 bleibt.
      Der Faktor wird von 4 auf 2 verkleinert, die Klammer bleibt.
      Statt 4 · (x + 3) schreibt jemand 4 · (3 + x).
      Der Faktor wird von 4 auf 12 erhöht, die Klammer bleibt.
      Ein Faktor wirkt auf das ganze Produkt — egal ob du ihn vor die Klammer schreibst oder in jeden Summanden hineinziehst: 8 · (x + 3) und 4 · (2x + 6) sind beide doppelt so groß wie 4 · (x + 3). Nur das Vertauschen der Summanden (Zeile 4) ändert gar nichts — das ist das Kommutativgesetz.
      A17
      Musterlösung zusammenbauen
      AFB II

      Baue die vollständige Musterlösung für −6 · (2x − 5) — zwei Bausteine sind Fallen.

      Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
      Die zwei Fallen sind die häufigsten Heftfehler: „−12x − 30“ vergisst, dass Minus mal Minus Plus ergibt, und „(−6) · 2x − 5“ nimmt die −5 gar nicht erst mit in die Multiplikation. Eine saubere Lösung zeigt immer den Zwischenschritt „Verteilen“.
      A18
      Rechenkette rückwärts
      AFB III

      Diesmal ist der ausmultiplizierte Term gegeben: 8x + 20. Gesucht ist die Klammerform — also der Weg zurück.

      Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
      1. Welche größte Zahl teilt sowohl 8 als auch 20?  
      2. 8x geteilt durch 4 ergibt wie viele x? Gib nur die Zahl vor dem x ein.  
      3. Und 20 geteilt durch 4 ergibt?  
      4. Probe: Setze x = 3 in deine Klammerform 4 · (2x + 5) ein. Welchen Wert erhältst du?  
      8x + 20 = 4 · (2x + 5). Die Probe stimmt: 8 · 3 + 20 = 44 und 4 · (2 · 3 + 5) = 4 · 11 = 44. Wer nur 2 statt 4 ausklammert, bekommt zwar auch etwas Richtiges (2 · (4x + 10)), aber nicht die kürzeste Form.
      A19
      Zahl ohne x gesucht
      AFB II

      Multipliziere −4 · (3x − 7) aus. Welche Zahl steht am Ende ohne x — mit Vorzeichen?

      Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
      (−4) · (−7) = +28, das Ergebnis lautet also −12x + 28. Wer −28 einträgt, hat das Minus der 7 übersehen: In der Klammer steht −7, nicht +7.
      A20
      Die 12x-plus-18-Familie
      AFB III

      Welche dieser Produkte ergeben ausmultipliziert genau 12x + 18? Es sind mehrere!

      Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
      Zu einem Term gehören viele Klammerformen — man muss nur beide Zahlen durch denselben Faktor teilen. Die falschen Antworten teilen nur die erste Zahl und lassen die 18 stehen; die Probe durch Ausmultiplizieren entlarvt sie sofort.
      A21
      Klammer auflösen — einfache Faktoren
      AFB I

      Multipliziere die Klammer aus. Schreibe das Ergebnis in der Form „2x+10“ (oder ähnlich).

      Vorgehen: Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit JEDEM Summanden in der Klammer. Vergiss den zweiten Summanden nicht!Beispiel a): 2 wirkt auf x → 2x. 2 wirkt auf 5 → 10. Ergebnis: 2x + 10.
      Lösung: a) 2x + 10 · b) 3y + 18 · c) 7a − 14
      A22
      Negativer Faktor — auf die Vorzeichen achten!
      AFB I

      Multipliziere aus. Achte besonders auf die Vorzeichen.

      Regel: „Minus mal Plus = Minus“, „Minus mal Minus = Plus“.Bei a): −3·(+x) = −3x. −3·(+2) = −6. Also: −3x − 6.
      Lösung: a) −3x − 6 · b) −5y + 20
      A23
      Drei Summanden in der Klammer
      AFB II

      Multipliziere aus. Pass auf: jeder Summand wird einzeln multipliziert.

      Vorgehen: Drei Summanden = drei Produkte. Bei a): 4·2a, 4·3b und 4·(−1).Bei b): 2x · 3 = 6x. 2x · y = 2xy (kein Malzeichen zwischen Variablen).
      Lösung: a) 8a + 12b − 4 · b) 6x + 2xy
      A24
      Mix — multiplizieren oder nicht?
      Mix

      Achtung gemischt! Manche Terme sind schon ausmultipliziert, manche musst du noch ausmultiplizieren. Entscheide selbst und gib das Endergebnis ein. Bei bereits ausmultiplizierten Termen: einfach den Term übernehmen.

      Warum hilft dieses „Mischen“ beim Lernen?
      Im echten Test (Klassenarbeit, Abitur, Alltag) steht nicht dabei „jetzt kommt eine Klammer“. Wenn du immer nur ausmultiplizierst, lernst du nur eine Bewegung. Hier musst du entscheiden: „Ist da eine Klammer? Dann ausmultiplizieren. Sonst nicht.“ (Studie: Rohrer 2007 — gemischtes Üben verbessert Transferleistung um 43 %.)
      A25
      Rückwärts — Faktorisierung finden (Vorblick UK2)
      AFB II

      Gegeben ist der ausmultiplizierte Term 6x + 10. Finde einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst. Wie sieht der Term mit Klammer aus?

      Idee: Welche Zahl teilt 6 UND 10? (Gemeinsamer Teiler.)2 teilt sowohl 6 als auch 10. Klammere 2 aus: 6x = 2·3x und 10 = 2·5.
      Lösung: 6x + 10 = 2·(3x + 5). Probe: 2·3x + 2·5 = 6x + 10. ✓
      Das ist genau das Gegenteil von Ausmultiplizieren — wir nennen es Ausklammern oder Faktorisieren (kommt in UK2!).
      A26
      Begründungsaufgabe: warum gilt das Gesetz?
      AFB III

      Erkläre einer Mitschülerin in eigenen Worten — mit Hilfe des Flächenmodells — warum die Regel a·(b+c) = a·b + a·c gilt. (Tipp: Denk an ein Rechteck, das in zwei Teile geteilt wird.)

      Antwort (erst nach eigenem Versuch öffnen!)
      „Stell dir ein Rechteck vor mit Breite a und Höhe (b + c). Seine Fläche kannst du auf zwei Wegen berechnen: (1) als ein großes Rechteck: a · (b + c). (2) als zwei kleine Rechtecke nebeneinander: a · b plus a · c. Beide Wege müssen denselben Wert ergeben — es ist ja dieselbe Fläche! Also: a·(b+c) = a·b + a·c.“
      a · b a · c a b c eine Fläche, zwei Berechnungen
      Flächenmodell
      A27
      Unterschiedliche Klammerformen — gleiche Fläche
      AFB III

      Ein Term wie 6x + 12 kann auf mehrere Arten als Produkt mit Klammer geschrieben werden. Gib mindestens drei verschiedene Klammer-Darstellungen für 6x + 12 an, die alle wieder denselben ausmultiplizierten Term ergeben.

      Antwort (mehrere richtige Möglichkeiten)
      Möglichkeiten (jeweils mit Probe): 1·(6x+12) (trivial), 2·(3x+6) (Probe: 2·3x+2·6 = 6x+12 ✓), 3·(2x+4) (Probe: 3·2x+3·4 = 6x+12 ✓), 6·(x+2) (Probe: 6·x+6·2 = 6x+12 ✓). Die „schönste“ Form ist meist die mit dem größten gemeinsamen Teiler: 6·(x+2). Mehr dazu in UK2.
      6·(x+2) 3·(2x+4) 2·(3x+6) = 6x + 12 (immer!)
      Verschiedene Klammern, gleiches Ergebnis
      A28
      Sachaufgabe: Klassenfahrt
      AFB II

      Die Klasse 8a fährt auf Klassenfahrt. Jeder von n Schülern zahlt: 45 € Bus + 30 € Übernachtung + 12 € Eintritt. Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf — einmal als Produkt mit Klammer, einmal ausmultipliziert.

      Was zeigt diese Aufgabe?
      Beide Schreibweisen — n·(45+30+12) und 45n+30n+12n — beschreiben dasselbe! Die Klammerform sagt: „Jeder Schüler bezahlt drei Posten“. Die ausmultiplizierte Form sagt: „45 € pro Schüler für Bus + 30 € pro Schüler für Übernachtung + …“. Beides darf man zu 87n zusammenfassen — das ist die kompakteste Form.
      A29
      Gemischt — erst entscheiden, dann rechnen
      AFB III

      Hier ist alles gemischt: mal musst du ausmultiplizieren, mal nur gleichartige Glieder zusammenfassen, mal beides nacheinander. Entscheide zuerst, was zu tun ist, und gib dann die einfachste Form ein.

      Erste Frage: Steht eine Klammer da, vor der ein Faktor steht? Nur dann wird ausmultipliziert.Bei b) gibt es keine Klammer — 7x und 2x sind gleichartig und werden einfach addiert: 9x. Ausmultiplizieren wäre hier ein typischer Reflexfehler.
      Bei d) zwei Schritte: Erst 6·(x + 2) = 6x + 12 ausmultiplizieren, dann 6x − 2x = 4x zusammenfassen. Die 12 bleibt unberührt, weil sie kein x enthält.
      Lösung: a) 10x + 15 · b) 9x · c) −12 + 3a (= 3a − 12) · d) 4x + 12
      Warum ist diese gemischte Übung schwerer als eine ganze Seite mit lauter Klammern?
      Wenn alle Aufgaben gleich aussehen, schaltest du nach der zweiten in den Automatikmodus und rechnest, ohne hinzuschauen. In der Klassenarbeit steht aber nicht dabei, welche Regel gemeint ist. Hier musst du bei jeder Teilaufgabe neu entscheiden — genau diese Entscheidung wird später abgefragt. Bei c) hilft es, den Term als −3·(4 + (−a)) zu lesen: Dann siehst du sofort, dass beide Summanden ihr Vorzeichen wechseln.
      A30
      Trickaufgabe — geht das überhaupt?
      Mix

      Von einem Term a · (b + c) weißt du nur: a = 5 und b + c = 9. Die einzelnen Werte von b und c kennst du nicht. Kannst du trotzdem sagen, wie groß a·b + a·c ist?

      Was musst du erkennen, bevor du losrechnest?
      Ja, es geht — und zwar ohne b und c einzeln zu kennen. Das Distributivgesetz sagt: a·b + a·c = a·(b + c). Rechts steht nur noch a und die Summe b + c, und beides ist gegeben: 5 · 9 = 45. Probe mit zwei beliebigen Zerlegungen von 9: b = 2, c = 7 gibt 5·2 + 5·7 = 10 + 35 = 45; b = 4, c = 5 gibt 20 + 25 = 45. Der typische Fehler ist, hier aufzugeben („mir fehlen b und c“) — man muss die Formel nur in die andere Richtung lesen.

      Diese Aufgabe ist absichtlich knifflig: Sie trainiert, dass du prüfst, welche Angaben du wirklich brauchst, statt sofort nach den fehlenden zu suchen.