Der neue Boden im Musikraum
AFB IIDer Musikraum bekommt einen neuen Boden. Der Raum ist überall 6 m breit; seine Länge \(x\) in Metern wird beim Aufmaß noch bestimmt. An den Raum grenzt ein 2,5 m langes Podest derselben Breite, das ebenfalls belegt wird (Material M1). Der Belag kostet 27,50 € je Quadratmeter.
Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu; die Länge \(x\) steht noch nicht fest.
- Stelle einen Term für die zu belegende Fläche als Produkt auf und gib mit dem Distributivgesetz die Summenform an.
- Das Aufmaß ergibt \(x = 7{,}4\ \text{m}\). Berechne die Fläche mit beiden Termformen.
- Stelle einen Term für die Materialkosten auf, gib auch dessen Summenform an und berechne die Kosten für \(x = 7{,}4\ \text{m}\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Gesamtlänge beträgt \((x + 2{,}5)\) Meter, die Breite 6 m:
\(A = 6\cdot(x + 2{,}5)\)
Mit dem Distributivgesetz folgt \(A = 6\cdot x + 6\cdot 2{,}5 = 6x + 15\).
Die Fläche beträgt also \((6x + 15)\ \text{m}^2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Produktform: \(6\cdot(7{,}4 + 2{,}5) = 6\cdot 9{,}9 = 59{,}4\).
Summenform: \(6\cdot 7{,}4 + 15 = 44{,}4 + 15 = 59{,}4\).
Beide Wege führen zu \(59{,}4\ \text{m}^2\) — wie es das Distributivgesetz garantiert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(K = 27{,}50\cdot(6x + 15) = 27{,}50\cdot 6x + 27{,}50\cdot 15 = 165x + 412{,}50\)
Für \(x = 7{,}4\): \(165\cdot 7{,}4 + 412{,}50 = 1221 + 412{,}50 = 1633{,}50\).
Der Belag kostet 1633,50 €. Die Probe über die Fläche bestätigt das: \(27{,}50\cdot 59{,}4 = 1633{,}50\).
Die neuen Bänke für den Schulhof
AFB IIIEine Tischlerei fertigt vier gleiche Bänke für den Schulhof. Für jede Bank werden Holz und Beschläge für 85 € eingekauft; die Arbeitszeit beträgt 3,5 Stunden bei einem Stundensatz von 42 € (Material M2). Im Elternrat sagt jemand: „Wenn das Holz für eine Bank 12 € teurer wird, steigt der Gesamtpreis eben um 12 € — das ist zu verkraften.“
| Posten | Wert |
|---|---|
| Material je Bank | 85,00 € |
| Arbeitszeit je Bank | 3,5 h |
| Stundensatz | 42,00 € |
| Anzahl der Bänke | 4 |
Alle vier Bänke sind baugleich; es fallen keine weiteren Kosten an.
- Stelle den Gesamtpreis einmal als Produkt mit einer Klammer und einmal als Summe auf und zeige, dass beide Terme denselben Wert liefern.
- Das Material je Bank wird um \(m\) Euro teurer. Stelle einen Term für den Gesamtpreis in Abhängigkeit von \(m\) auf und fasse ihn zusammen.
- Nimm Stellung zu der Aussage aus dem Elternrat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Lohn je Bank beträgt \(3{,}5\cdot 42 = 147\) €. Damit kostet eine Bank \(85 + 147\) Euro, und für vier Bänke gilt
\(P = 4\cdot(85 + 147)\)
Ausmultipliziert: \(P = 4\cdot 85 + 4\cdot 147 = 340 + 588 = 928\).
Die Produktform ergibt \(4\cdot 232 = 928\) — beide Terme liefern 928 €.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(m) = 4\cdot(85 + m + 147) = 4\cdot(232 + m)\)
\(P(m) = 4\cdot 232 + 4\cdot m = 928 + 4m\)
Der Gesamtpreis wächst also mit dem Vierfachen der Materialverteuerung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Nach b) gilt \(P(m) = 928 + 4m\): Weil vier Bänke gebaut werden, wirkt sich jede Preiserhöhung viermal aus. Das Distributivgesetz macht das sichtbar — der Faktor 4 wird beim Ausmultiplizieren auf jeden Summanden der Klammer verteilt, also auch auf \(m\).
Für \(m = 12\) ergibt sich \(P = 928 + 4\cdot 12 = 928 + 48 = 976\). Der Gesamtpreis steigt um 48 €, nicht um 12 €.
Nur bei einer einzigen Bank träfe die Aussage zu. Wer im Elternrat kalkuliert, sollte Materialaufschläge deshalb immer mit der Stückzahl multiplizieren.