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Übungen: Ausklammern — Faktorisieren

Ausklammern ist die Umkehrung: aus a·b + a·c machst du a·(b + c). Den gemeinsamen Faktor findest und ziehst du heraus.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps. Bei den Rechenaufgaben tippst du den faktorisierten Term ohne Leerzeichen ein, z. B. 3·(2x+4) oder 3(2x+4) — beide Schreibweisen werden akzeptiert.

A1
Regel-Check
AFB I

Welche Aussagen über das Ausklammern ab + ac = a · (b + c) stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die beiden häufigsten Irrtümer stecken in den letzten Antworten: Auch Variablen darf man ausklammern (x² + 4x = x·(x+4)), und wenn ein Summand genau der Faktor ist, bleibt eine 1 übrig — 7a + 7 = 7·(a + 1), nicht 7·a. Der Wert des Terms bleibt dabei immer gleich; nur die Schreibweise ändert sich.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um gemeinsame Faktoren.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Ausgeklammert wird nur, was in allen Summanden steckt — und kein Summand verschwindet dabei. Wo der Faktor komplett aufgebraucht ist, steht in der Klammer eine 1.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Ausklammern suchst du zuerst einen Faktor, der in allen steckt. Diesen Faktor schreibst du vor die ; was übrig bleibt, steht darin. So wird aus einer Summe ein . Zur Probe du wieder aus.

„Summe“ bleibt übrig — und das ist kein Zufall: Das Ergebnis des Ausklammerns ist gerade keine Summe mehr, sondern ein Produkt. Wer am Ende trotzdem eine Summe hinschreibt, hat den Rückweg zum Ausgangsterm genommen.
A4
Term-Sortierer: Welcher Faktor steckt drin?
AFB I

Zahl, Zahl mit Variable oder gar nichts Gemeinsames? Sortiere die Terme in die passenden Körbe.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Faktor 3
2Faktor 5x
3nur der Faktor 1
Typischer Fehler bei Korb 2: nur die 5 zu ziehen. In 5x² + 10x steckt auch in beiden Summanden ein x — wer nur 5 · (x² + 2x) schreibt, ist noch nicht fertig. Und Korb 3 zeigt: Sind die Zahlen teilerfremd und fehlt eine gemeinsame Variable, geht gar nichts.
A5
Rechenweg in Ordnung bringen
AFB I

In welcher Reihenfolge klammerst du einen Term aus?

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen vor den Summanden bestimmen.
2 Prüfen, welche Variable in jedem Summanden vorkommt — und mit welcher kleinsten Potenz.
3 Zahl und Variable zum gemeinsamen Faktor zusammensetzen und vor die Klammer schreiben.
4 Jeden Summanden durch den gemeinsamen Faktor teilen und die Ergebnisse in die Klammer schreiben.
5 Probe: die Klammer wieder ausmultiplizieren und mit dem Ausgangsterm vergleichen.
Der meistvergessene Schritt ist Nummer 4: Viele teilen nur den ersten Summanden durch den Faktor und schreiben den zweiten unverändert ab — aus 10x + 15 wird dann fälschlich 5 · (2x + 15).
A6
Rechenkette vorwärts
AFB II

Klammere bei 18x + 24 vollständig aus. Arbeite dich Schritt für Schritt vor.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 18 und 24. ggT
  2. Teile 18 durch 6 — welche Zahl steht in der Klammer vor dem x? · x
  3. Teile 24 durch 6 — welche Zahl steht hinten in der Klammer? + …
  4. Probe mit x = 2: Wie groß ist 6 · (3 · 2 + 4)? =
Ergebnis: 18x + 24 = 6 · (3x + 4). Die Probe mit x = 2 liefert 18 · 2 + 24 = 60 — genau wie die Klammerform. Wer statt der 6 nur die 2 oder die 3 ausklammert, rechnet zwar nichts Falsches, ist aber noch nicht fertig: In (9x + 12) bzw. (6x + 8) steckt immer noch ein gemeinsamer Faktor.
A7
Blitzrechnung
AFB I

Klammere bei 12a + 30 den größten gemeinsamen Faktor aus. Welche Zahl steht danach vor der Klammer?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
ggT(12, 30) = 6, also 12a + 30 = 6 · (2a + 5). Die häufigen Fehlantworten 2 und 3 sind gemeinsame Teiler, aber nicht die größten — dann bleibt in der Klammer noch etwas Gemeinsames stehen.
A8
Schätz-Regler: geschickt rechnen
AFB II

Wie viel ergibt 19 · 24 + 19 · 26? Schätze zuerst — und klammere danach die 19 aus, statt zweimal zu multiplizieren.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
02000
19 · 24 + 19 · 26 = 19 · (24 + 26) = 19 · 50 = 950. Genau dafür ist Ausklammern im Kopfrechnen gut: Statt zweier schwerer Multiplikationen bleibt eine leichte. Wer erst beide Produkte ausrechnet, schätzt meist zu niedrig, weil man 19 · 24 gedanklich auf „ungefähr 400“ rundet und den zweiten Summanden zu klein ansetzt.
A9
Term-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Summenform und faktorisierter Form.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Zwei Karten sind die Stolperfallen: Bei 7a + 7 bleibt in der Klammer eine 1 stehen, und bei −6b − 9 dreht der negative Faktor beide Vorzeichen in der Klammer um (−9 : (−3) = +3).
A10
Kreuztabelle: Welcher gemeinsame Faktor?
AFB II

Fünf Terme, drei mögliche Faktoren. Kreuze für jede Zeile den größten gemeinsamen Faktor an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
TermFaktor 4Faktor 4xFaktor 2x
8x + 12
8x² + 12x
4x² + 6x
16x + 4
4x² + 8x
Vergleiche die Zeilen 1 und 2: Nur weil ein x dazukommt, wandert es auch in den Faktor. Bei 16x + 4 dagegen steckt in der 4 kein x — deshalb bleibt es beim reinen Zahlenfaktor. Und Zeile 3 zeigt: ggT(4, 6) = 2, nicht 4.
A11
Ausmultiplizieren, Ausklammern — oder beides?
AFB II

Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Ausmultiplizieren
2 beides
3 nur Ausklammern
Die Mitte ist der Kern: Beide Wege benutzen dasselbe Gesetz und ändern den Wert des Terms nie — sie laufen nur in verschiedene Richtungen. Wer das übersieht, sucht beim Ausklammern nach einer „neuen Regel“, statt das Distributivgesetz einfach rückwärts zu lesen.
A12
Term trifft gemeinsamen Faktor
AFB II

Verbinde jeden Term mit seinem größten gemeinsamen Faktor — Kopfrechnen genügt.

Klicke links einen Term an und dann rechts seinen Faktor — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zwei-Schritt-Trick: erst der ggT der Zahlen, dann die Variable mit der kleinsten Potenz, die in allen Summanden vorkommt. Bei 12x² + 18x ist das x¹ — nicht x², denn im zweiten Summanden steckt nur ein x. Bei 14 + 21z fehlt die Variable im ersten Summanden, deshalb bleibt es bei der reinen 7.
A13
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Zeilen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 und Zeile 4 sind die zwei Klassiker in Klassenarbeiten: die verschwundene 1 und der nicht geteilte zweite Summand. Beide fallen sofort auf, wenn man die Probe macht — 8 · a ergibt eben nur 8a, nicht 8a + 8.
A14
Nurays Rechenweg
AFB II

Begleite Nuray durch eine Aufgabe — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der komplette Weg: Zahlen-ggT → kleinste gemeinsame Potenz der Variablen → jeden Summanden teilen → Probe durch Ausmultiplizieren. Die Falle in Schritt 2 ist x², die Falle in Schritt 3 der nicht geteilte hintere Summand.
    A15
    Entscheidungsbaum: Was lässt sich ausklammern?
    AFB II

    Situation: Vor dir steht der Term 15a² + 25a. Arbeite dich durch den Baum bis zum passenden Weg.

    Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
      Der Baum trennt zwei Fragen, die viele zusammenwerfen: Zahlen und Variablen werden getrennt geprüft und erst danach zu einem Faktor zusammengesetzt. Wer nur eine der beiden Fragen stellt, klammert unvollständig aus.
      A16
      Wie groß ist der Faktor?
      AFB III

      Bestimme für jeden Term den größten Zahlenfaktor, der sich ausklammern lässt — im Kopf, ohne aufzuschreiben. Stufe 1 heißt: Es lässt sich nichts ausklammern.

      Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = nur die 1 (nichts geht), 2 = Faktor 2, 3 = Faktor 3, 4 = Faktor 4, 5 = Faktor 5. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
      1 = nur die 15 = Faktor 5
      7x + 9
      4m + 6
      9b + 15
      8a + 12
      10y + 15
      Bei 8a + 12 wählen viele die 2, weil 2 sichtbar in beide Zahlen passt — gesucht ist aber der größte gemeinsame Teiler, also 4. Und 7x + 9 zeigt den Sonderfall: teilerfremde Zahlen, keine gemeinsame Variable — hier bleibt nur die 1, und Ausklammern lohnt sich nicht.
      A17
      Musterlösung zusammenbauen
      AFB II

      Baue die vollständige Musterlösung für 20x² + 30x — zwei Bausteine sind Fallen.

      Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
      Die erste Falle (10 · (2x² + 3x)) ist zwar wertgleich, aber nicht vollständig faktorisiert — in der Klammer steckt noch ein x. Die zweite Falle teilt nur den vorderen Summanden durch 10x und lässt den hinteren stehen. So sieht dagegen eine volle Punktzahl aus: gegeben, Zahlen, Variable, ausklammern, Probe.
      A18
      Rechenkette rückwärts
      AFB III

      Diesmal ist die Klammer schon da: Ein Term wurde zu ■ · (4x + 7) ausgeklammert, der Ausgangsterm hieß 20x + 35. Welche Zahl steht vor der Klammer?

      Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
      1. Welche Zahl mal 4x ergibt 20x? =
      2. Gegenprobe am zweiten Summanden: Wie viel ist 5 · 7? =
      3. Probe mit x = 4: Wie groß ist 5 · (4 · 4 + 7)? =
      Rückwärts heißt: Die gesuchte Zahl muss zu beiden Summanden passen — 5 · 4x = 20x und 5 · 7 = 35. Wer nur den ersten Summanden prüft, übersieht falsche Klammern wie 5 · (4x + 8). Die Zahlenprobe mit x = 4 (20 · 4 + 35 = 115) kostet zehn Sekunden und fängt fast jeden Fehler.
      A19
      Wert der faktorisierten Form
      AFB II

      Der Term 9x² + 12x wurde vollständig zu 3x · (3x + 4) faktorisiert. Berechne seinen Wert für x = 5.

      Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
      Über die Klammer: 3 · 5 · (15 + 4) = 15 · 19 = 285. Über die Summenform: 9 · 25 + 12 · 5 = 225 + 60 = 285 — dasselbe Ergebnis, aber mehr Rechenschritte. Der typische Fehler ist, das x nur einmal einzusetzen und 3x · (3x + 4) zu 3 · 5 · (3 + 4) zu machen: Das x steht an beiden Stellen.
      A20
      Die 24a-plus-36-Familie
      AFB III

      Welche dieser Klammerformen sind wertgleich mit 24a + 36? Es sind mehrere!

      Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
      Alle drei richtigen Formen ergeben ausmultipliziert wieder 24a + 36 — vollständig faktorisiert ist aber nur 12 · (2a + 3), denn in (4a + 6) und (8a + 12) steckt noch ein gemeinsamer Faktor. Die drei falschen entstehen genau durch den Klassiker: Nur der erste Summand wurde geteilt, der zweite blieb stehen oder wurde falsch geteilt (36 : 4 = 9, nicht 8).
      A21
      Nur Zahlen-ggT
      AFB I

      Klammere den größten Zahlen-ggT aus.

      Ansatz: Suche zuerst den ggT der beiden Zahlen. Bei a): ggT(6, 12) = 6.Warum den größten? Damit in der Klammer nichts Gemeinsames mehr übrig bleibt.
      Rechenweg: Schreibe 6x = 6·x und 12 = 6·2. Dann: 6·x + 6·2 = 6·(x+2).
      Lösung: a) 6·(x+2) · b) 5·(2y−3) · c) 8·(a+3)
      A22
      Variable im Faktor
      AFB I

      Achte darauf: hier steckt die Variable x oder a in beiden Summanden.

      Prüfe beide: Welche Zahl + welche Variable steckt in jedem Summanden?Bei a): 3 steckt in 3 und in 6 (denn 6 = 3·2). x steckt in x² und in x (denn x² = x·x).
      Vorsicht 5a + 5a · 1: Bei b) bleibt nach dem Ausklammern in der Klammer eine 1 übrig — denn 5a / 5a = 1. Schreibe sie hin!
      Lösung: a) 3x·(x+2) · b) 5a·(b+1)
      Bonus-Beispiel Schritt für Schritt: 9a² + 15a
      1. Zahlen-ggT: ggT(9, 15) = 3. 2. Variable: a steckt in beiden Summanden, im hinteren nur einfach → niedrigste Potenz a¹. 3. Gemeinsamer Faktor: 3a. 4. Ausklammern: 9a² + 15a = 3a·(3a + 5). 5. Probe: 3a·3a + 3a·5 = 9a² + 15a ✓ — Und wenn ich nur 3 statt 3a ausklammere? Dann bekommst du 3·(3a² + 5a) — auch korrekt, aber nicht vollständig: In der Klammer steckt noch ein gemeinsamer Faktor a. Du musst dann ein zweites Mal ausklammern: 3·a·(3a + 5) = 3a·(3a + 5).
      A23
      Mehrere Variablen
      AFB II

      Bei 12xy + 18xz stehen Zahlen und mehrere Variablen — finde alles Gemeinsame.

      Drei Schritte: ggT(12, 18) = ? · Welche Variable steckt in beiden? · Welche steht nur in einem?y nur links, z nur rechts → die kommen nicht in den Faktor, sondern bleiben in der Klammer.
      Lösung: ggT(12,18) = 6 · x ist in beiden → Faktor 6x · in der Klammer: 12xy/6x = 2y, 18xz/6x = 3z → 6x·(2y + 3z).
      A24
      Negativer Faktor — was passiert?
      AFB II

      Bei −4x − 8 kannst du auf zwei Arten ausklammern. Probiere beide!

      Welche Variante ist „schöner“? Und warum?
      Variante b) (−4·(x+2)) ist „schöner“, weil in der Klammer nur positive Vorzeichen stehen. Mathematisch sind beide korrekt — aber die Schul-Konvention bevorzugt die Form, in der die Klammer „aufgeräumt“ aussieht. Merksatz: Wenn der erste Summand negativ ist, klammere oft das negative Vorzeichen mit aus.
      A25
      Schon faktorisiert? Oder gar nicht?
      Mix — Interleaving

      Manche Terme lassen sich nicht weiter faktorisieren — andere sind schon ein Produkt. Entscheide!

      Wie erkennst du vor dem Rechnen, dass 5x + 7 nicht faktorisierbar ist?
      Du suchst gemeinsame Faktoren: Bei 5x sind das 1, 5, x. Bei 7 sind das nur 1 und 7. Die einzige Gemeinsamkeit ist 1 — und mit 1 auszuklammern bringt nichts. Generell: Wenn die Zahlen teilerfremd sind und keine gemeinsame Variable vorkommt, geht's nicht.
      A26
      Wenn eine ganze Klammer der gemeinsame Faktor ist
      AFB III

      Der gemeinsame Faktor muss keine Zahl und keine einzelne Variable sein — er kann auch eine ganze Klammer sein. Schau dir 7·(a+3) + b·(a+3) an: In beiden Summanden steckt der Baustein (a+3). Zieh ihn vor die Klammer.

      Perspektivwechsel: Behandle die Klammer (a+3) wie einen einzigen Buchstaben — nenn sie in Gedanken k. Dann steht da 7·k + b·k.Und 7k + bk kannst du längst: k·(7+b). Jetzt schreibst du für k wieder (a+3) hin.
      Bei b) auf das Minus achten: Der zweite Summand ist −5·(y−1), also gehört das Minuszeichen zur 5. In der neuen Klammer steht deshalb 4x minus 5.
      Lösung: a) (a+3)·(7+b) · b) (y−1)·(4x−5). Probe zu a): (a+3)·7 + (a+3)·b = 7·(a+3) + b·(a+3) ✓
      Warum ist das kein neuer Trick, sondern dieselbe Regel wie vorher?
      Die Regel heißt immer ab + ac = a·(b+c) — und in dieser Regel steht nirgends, dass a eine Zahl sein muss. a darf jeder Baustein sein, der in beiden Summanden vorkommt: eine Zahl (6), eine Variable (x), ein Produkt aus beidem (10x) oder eben eine ganze Klammer (a+3). Genau das brauchst du später beim Lösen von Gleichungen und in Klasse 9 beim Kürzen von Bruchtermen.
      A27
      Anwendung — Gleichung lösen durch Ausklammern
      AFB III

      Löse die Gleichung 3x² + 6x = 0. Idee: Klammere zuerst aus, dann hast du ein Produkt = 0. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist (Satz vom Nullprodukt).

      Schritt 1: Klammere aus → 3x·(x+2) = 0.Jetzt steht da: irgendwas mal irgendwas = 0. Wann passiert das?
      Satz vom Nullprodukt: A·B = 0 ⇔ A = 0 ODER B = 0. Also: 3x = 0 oder (x+2) = 0.
      Lösung: 3x = 0 → x₁ = 0. x + 2 = 0 → x₂ = −2. Also L = {0; −2}.
      Warum erspart Ausklammern hier viel Arbeit?
      Ohne Ausklammern wäre 3x² + 6x = 0 eine quadratische Gleichung — und du müsstest die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel benutzen (die du erst Klasse 9/10 lernst). Mit Ausklammern wird daraus zwei einfache, lineare Gleichungen. Ausklammern ist also ein mächtiges Werkzeug zur Vereinfachung.
      A28
      Begründungsaufgabe — Umkehrung des Distributivgesetzes
      AFB III

      Erkläre in eigenen Worten (3–4 Sätze), warum Ausklammern die Umkehrung des Distributivgesetzes ist. Verwende die Begriffe Summenform, Produktform und gemeinsamer Faktor.

      Mögliche Antwort
      „Das Distributivgesetz macht aus einem Produkt mit Klammer (Produktform) eine Summe ohne Klammer (Summenform): a·(b+c) → a·b + a·c. Beim Ausklammern gehe ich den umgekehrten Weg: Aus der Summe a·b + a·c mache ich wieder das Produkt a·(b+c), indem ich den gemeinsamen Faktor a vor die Klammer ziehe. Beide Operationen sind also entgegengesetzt — wie + und − oder · und ÷. Das erkennt man auch an der Probe: Wenn ich nach dem Ausklammern wieder ausmultipliziere, kommt der Ausgangsterm raus.“
      A29
      Knobel: vier gemischte Terme
      Mix

      Klammere — falls möglich — den größten gemeinsamen Faktor aus. Wenn nicht möglich, schreibe den Term unverändert.

      Bei c) — warum ist hier x² der gemeinsame Faktor und nicht x?
      Wegen der niedrigsten gemeinsamen Potenz: In 2x³ steckt x², in 4x² steckt x². Beide haben mindestens x², also kannst du x² rausziehen. (Du könntest auch nur x rausziehen — dann bliebe in der Klammer noch x übrig, also noch nicht fertig faktorisiert.)
      A30
      Trickaufgabe — wer hat recht?
      Mix

      Der Term lautet 4x + 6. Lisa klammert 2 aus und schreibt 2·(2x+3). Tim klammert 4 aus und schreibt 4·(x+1,5). Beide behaupten, ihr Ergebnis sei richtig. Prüfe erst rechnerisch nach — und entscheide dann, welche Form du in einer Klassenarbeit hinschreibst.

      Wer hat nun recht — und welche Form gilt als „fertig ausgeklammert“?
      Rechnerisch haben beide recht: Alle drei Terme liefern für jedes x denselben Wert (bei x = 3 jeweils 18). Trotzdem ist nur Lisas Form die gesuchte: Ausklammern soll den Term einfacher machen, und dazu muss der ausgeklammerte Faktor ein gemeinsamer Teiler beider Zahlen sein. 4 ist kein Teiler von 6 — Tim erkauft sich seine Klammer mit der Kommazahl 1,5. Merksatz: Klammere so aus, dass in der Klammer ganze Zahlen stehen bleiben, und nimm davon den größten möglichen Faktor. Der typische Fehler ist der umgekehrte: Man klammert zu wenig aus (hier z. B. gar nichts) und übersieht, dass 2 in 4 und in 6 steckt.

      Diese Aufgabe ist absichtlich knifflig: Sie trainiert, dass „stimmt rechnerisch“ und „ist die gesuchte Form“ zwei verschiedene Dinge sind.