Der Sponsorenlauf
AFB IIBeim Sponsorenlauf sucht sich jede Läuferin und jeder Läufer Sponsoren, die für jede gelaufene Runde einen festen Betrag spenden. Mara hat drei Sponsoren gefunden (Material M1). Sie läuft \(r\) Runden.
| Sponsor | Betrag je Runde |
|---|---|
| Onkel Jörg | 2,50 € |
| Nachbarin Frau Alt | 1,50 € |
| Fahrradladen Rehm | 4,00 € |
Alle drei zahlen für jede Runde, unabhängig von der Laufzeit.
- Stelle einen Term für Maras Spendensumme als Summe dreier Produkte auf und fasse ihn durch Ausklammern von \(r\) zusammen.
- Mara schafft 23 Runden. Berechne ihre Spendensumme mit beiden Termformen.
- Mara möchte mindestens 300 € erreichen. Ermittle, wie viele Runden sie dafür laufen muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(S = 2{,}50\cdot r + 1{,}50\cdot r + 4{,}00\cdot r\)
Der gemeinsame Faktor \(r\) wird ausgeklammert:
\(S = r\cdot(2{,}50 + 1{,}50 + 4{,}00) = r\cdot 8 = 8r\)
Mara erhält also 8 € je Runde.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Summenform: \(2{,}5\cdot 23 + 1{,}5\cdot 23 + 4\cdot 23 = 57{,}50 + 34{,}50 + 92 = 184\).
Klammerform: \(8\cdot 23 = 184\).
Beide ergeben 184 €. Die ausgeklammerte Form ist deutlich schneller zu berechnen — das ist der eigentliche Vorteil des Faktorisierens.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(8r = 300 \;\;|\; :8\)
\(r = 37{,}5\)
Eine halbe Runde wird nicht gewertet, deshalb muss Mara 38 Runden laufen. Dann kommen \(8\cdot 38 = 304\) € zusammen; mit 37 Runden wären es nur 296 € und damit zu wenig.
Die Sitzplätze in der Aula
AFB IIIIn der Aula werden für Aufführungen \(n\) gleiche Stuhlreihen mit je 6 Stühlen aufgestellt. Auf der Empore stehen zusätzlich 9 feste Plätze, die immer nutzbar sind (Material M2). Für den Kartenverkauf wird das Publikum in Dreiergruppen eingelassen. Der Hausmeister behauptet: „Egal wie viele Reihen wir stellen — die Platzzahl lässt sich immer ohne Rest in Dreiergruppen aufteilen.“
Die Gesamtzahl der Plätze hängt nur von der Reihenzahl \(n\) ab.
- Stelle einen Term für die Gesamtzahl der Plätze auf und gib ihn in faktorisierter Form an.
- Begründe mithilfe der faktorisierten Form die Behauptung des Hausmeisters.
- Für eine Abendveranstaltung sind genau 100 Plätze gewünscht. Prüfe, ob sich das mit dieser Bestuhlung erreichen lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P = 6n + 9\)
In beiden Summanden steckt der Faktor 3, denn \(6n = 3\cdot 2n\) und \(9 = 3\cdot 3\):
\(P = 3\cdot(2n + 3)\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die faktorisierte Form \(P = 3\cdot(2n+3)\) zeigt: Die Platzzahl ist immer das Dreifache der natürlichen Zahl \(2n+3\). Ein Produkt mit dem Faktor 3 ist stets durch 3 teilbar, ganz gleich, welchen Wert \(n\) annimmt.
Die Zuschauer lassen sich also immer in genau \(2n+3\) Dreiergruppen aufteilen — bei 5 Reihen zum Beispiel in \(2\cdot 5+3 = 13\) Gruppen, also \(3\cdot 13 = 39\) Plätze. Der Hausmeister hat recht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(6n + 9 = 100 \;\;|\; -9\), also \(6n = 91\) und \(n = 91 : 6 \approx 15{,}17\). Das ist keine natürliche Zahl, eine solche Reihenzahl gibt es nicht.
Das war nach b) auch zu erwarten: Jede erreichbare Platzzahl ist durch 3 teilbar, 100 ist es aber nicht (die Quersumme 1 ist nicht durch 3 teilbar). Damit ist die Wunschzahl 100 mit dieser Bestuhlung ausgeschlossen.
Erreichbar sind die Nachbarwerte 99 (bei \(n = 15\)) und 105 (bei \(n = 16\)). Wer genau 100 Plätze braucht, muss die Reihenlänge ändern oder Plätze auf der Empore sperren.