Die Rechnungen des Kopierladens
AFB IIDie Schülerzeitung lässt ihre Ausgaben im Kopierladen „Kopier-Eck“ drucken. Von zwei Aufträgen sind noch die Rechnungen da (Material M1), auf denen aber nur die Gesamtbeträge stehen — nicht die Grundgebühr und nicht der Preis je Kopie.
Es bezeichne \(n\) die Anzahl der Kopien und \(K\) den Rechnungsbetrag in Euro.
| Rechnung | Anzahl der Kopien | Rechnungsbetrag |
|---|---|---|
| Rechnung I | 120 | 14,00 € |
| Rechnung II | 300 | 32,00 € |
Der Laden verlangt eine einmalige Grundgebühr je Auftrag und zusätzlich einen festen Preis je Kopie.
- Bestimme aus den beiden Rechnungen die Gleichung \(K=m\cdot n+b\) und erläutere, was \(m\) und \(b\) im Sachzusammenhang bedeuten.
- Berechne, wie viele Kopien die Schülerzeitung für genau 20,00 € bekommt.
- Überprüfe die Behauptung des Redakteurs: „Für 600 Kopien zahlen wir genau doppelt so viel wie für 300 Kopien“, und begründe dein Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Steigung: \(m=\frac{32-14}{300-120}=\frac{18}{180}=0{,}1\).
\(b\) bestimmen mit Rechnung I: \(14=0{,}1\cdot 120+b\), also \(14=12+b\) und \(b=2\).
\(K=0{,}1n+2\).
Bedeutung: \(m=0{,}10\) ist der Preis für eine Kopie, also 10 Cent. \(b=2\) ist die Grundgebühr von 2,00 €, die auch dann anfällt, wenn gar nichts kopiert wird.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(0{,}1n+2=20 \quad\big|\ -2\)
\(0{,}1n=18 \quad\big|\ :0{,}1\)
\(n=180\)
Für 20,00 € bekommt die Schülerzeitung 180 Kopien. Probe: \(0{,}1\cdot 180+2=18+2=20\) — richtig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
300 Kopien: \(K=0{,}1\cdot 300+2=32{,}00\) €. 600 Kopien: \(K=0{,}1\cdot 600+2=62{,}00\) €.
Das Doppelte von 32,00 € wären 64,00 €, tatsächlich sind es aber nur 62,00 €. Die Behauptung ist also falsch.
Begründung: Beim Verdoppeln der Kopienzahl verdoppelt sich nur der Anteil \(0{,}1n\) — die Grundgebühr von 2,00 € fällt weiterhin nur einmal an und wird nicht mitverdoppelt. Deshalb liegt der neue Betrag um genau diese 2,00 € unter dem Doppelten. Der Zusammenhang ist linear, aber nicht proportional; „doppelt so viel“ gilt nur bei einer Ursprungsgeraden, also bei \(b=0\).
Welcher Kopierladen lohnt sich?
AFB IIINeben dem „Kopier-Eck“ hat ein zweiter Laden eröffnet, der „Druckpunkt“ (Material M2). Die Schülerzeitung will wissen, ab wann sich welcher Laden lohnt, und zeichnet dazu die Grafik in Material M3.
Die Redaktionsleiterin sagt: „Wir müssen nur eine einzige Gleichung lösen — dafür brauchen wir kein Gleichungssystem.“
Es bezeichne \(n\) die Anzahl der Kopien und \(K\) die Kosten in Euro.
| Laden | Grundgebühr je Auftrag | Preis je Kopie |
|---|---|---|
| Kopier-Eck | 2,00 € | 0,10 € |
| Druckpunkt | 0,00 € | 0,16 € |
Beide Läden rechnen jeden Auftrag einzeln ab; Mengenrabatte gibt es nicht.
Der Schnittpunkt liegt sichtbar zwischen 30 und 40 Kopien — der genaue Wert muss gerechnet werden.
- Stelle für beide Läden je eine Kostengleichung auf und lies aus Material M3 näherungsweise ab, wo sich die Geraden schneiden.
- Berechne die Schnittstelle genau und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Entscheide begründet, welchen Laden die Schülerzeitung für einen Auftrag über 25 Kopien und welchen sie für 400 Kopien wählen sollte.
- Nimm zur Aussage der Redaktionsleiterin Stellung und erkläre, wann eine einzige Gleichung genügt und wann nicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kopier-Eck: \(K_1=2+0{,}1n\). Druckpunkt: \(K_2=0{,}16n\).
Aus Material M3 liest man ab, dass sich die beiden Geraden zwischen 30 und 40 Kopien bei Kosten von etwa 5,00 € bis 6,00 € schneiden. Genauer gibt die Zeichnung es nicht her.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichsetzen:
\(2+0{,}1n=0{,}16n \quad\big|\ -0{,}1n\)
\(2=0{,}06n \quad\big|\ :0{,}06\)
\(n=\frac{2}{0{,}06}=33{,}\overline{3}\)
Rechnerisch sind beide Läden bei \(n\approx 33{,}3\) Kopien gleich teuer, nämlich bei etwa \(0{,}16\cdot 33{,}\overline{3}\approx 5{,}33\) €.
Im Sachzusammenhang ist dieser Wert nicht direkt umsetzbar: Man kann keine 33,3 Kopien machen. Sinnvoll ist deshalb die Formulierung mit ganzen Zahlen: Bei 33 Kopien ist der „Druckpunkt“ noch günstiger (\(5{,}28\ \text{€}\) gegenüber \(5{,}30\ \text{€}\)), ab 34 Kopien das „Kopier-Eck“ (\(5{,}40\ \text{€}\) gegenüber \(5{,}44\ \text{€}\)). Einen Auftrag, bei dem beide exakt gleich viel kosten, gibt es also gar nicht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
25 Kopien: Kopier-Eck \(2+2{,}50=4{,}50\) €, Druckpunkt \(0{,}16\cdot 25=4{,}00\) €. Günstiger ist der Druckpunkt (0,50 € gespart).
400 Kopien: Kopier-Eck \(2+40=42{,}00\) €, Druckpunkt \(0{,}16\cdot 400=64{,}00\) €. Günstiger ist das Kopier-Eck (22,00 € gespart).
Begründung: Bei kleinen Aufträgen fällt die Grundgebühr von 2,00 € stark ins Gewicht, deshalb liegt der Druckpunkt vorn. Ab 34 Kopien überwiegt der Vorteil des niedrigeren Kopienpreises von 10 Cent gegenüber 16 Cent, und der Abstand wächst mit jeder weiteren Kopie um 6 Cent. Bei 400 Kopien ist dieser Vorteil längst riesig.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage stimmt in dieser Situation, lässt sich aber nicht verallgemeinern.
Warum sie hier stimmt: Beide Kostengleichungen sind bereits nach \(K\) aufgelöst. Weil links zweimal dasselbe steht, dürfen die rechten Seiten gleichgesetzt werden — übrig bleibt eine einzige Gleichung mit einer einzigen Variablen \(n\). Genau das ist in Teilaufgabe b) passiert.
Warum sie nicht immer stimmt: Sobald die Angaben nicht als fertige Formeln vorliegen, sondern als Gesamtbeträge, ändert sich das Bild. Stünde auf einer Kinoabrechnung nur „4 Erwachsene und 3 Kinder zahlen 47,50 €“ und auf einer zweiten „2 Erwachsene und 5 Kinder zahlen 39,50 €“, so hieße das \(4x+3y=47{,}5\) und \(2x+5y=39{,}5\). Hier sind zwei Größen gleichzeitig unbekannt, und keine der beiden Gleichungen ist nach einer davon aufgelöst. Eine einzelne Gleichung mit zwei Variablen hat unendlich viele Lösungen; erst beide Gleichungen zusammen legen das Paar eindeutig fest.
Ein Gleichungssystem ist also kein Umweg, sondern der allgemeine Fall — der Vergleich zweier Tarife ist nur der besonders bequeme Sonderfall davon. Genau darum geht es im folgenden Kapitel.