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Übungen: Geradengleichung und Punktprobe

Sieben Aufgaben zum Ablesen, Umstellen, Zuordnen und zur Punktprobe — mit gestuften Hilfen und Fortschrittsanzeige.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungGeradengleichung und Punktprobe — Ablesen, Umstellen und Einsetzen nachlesen.
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Übungsaufgaben

Sieben Aufgaben, fortlaufend nummeriert: erst Ablesen und Umstellen, dann Zuordnen und Punktprobe, zum Schluss eine kleine Konstruktionsaufgabe. Die Schwierigkeit steigt — bei Fragen helfen dir die gestuften Tipps.

A1
m und b ablesen
AFB I

Lies Steigung m und y-Achsenabschnitt b direkt aus der Gleichung ab.

Gerade 1: y = 4x − 3

Gerade 2: y = −x + 2

Muster: Vergleiche mit y = m·x + b: Die Zahl vor dem x ist m, die Zahl dahinter ist b — mit Vorzeichen!Bei y = 4x − 3 gehört das Minus zur 3.
Lösung: Gerade 1: m = 4, b = −3. Gerade 2: −x bedeutet −1·x, also m = −1, b = 2.Vor einem einzelnen x steht unsichtbar der Koeffizient 1.
A2
Nach y umstellen — in welcher Reihenfolge?
AFB II

Die Gleichung 2x + 3y = 12 soll in die Form y = m·x + b gebracht werden.

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Gleichung hinschreiben: 2x + 3y = 12.
2 Auf beiden Seiten 2x subtrahieren: 3y = −2x + 12.
3 Beide Seiten durch 3 teilen: y = −⅔x + 4.
4 Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen: m = −⅔, b = 4.
Beim Teilen durch 3 wird jedes Glied geteilt — auch die 12. Wer nur das y-Glied teilt, bekommt eine falsche Steigung.
A3
Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmen
AFB II

Stelle 4x + 2y = 10 nach y um und gib Steigung m und y-Achsenabschnitt b an.

y freistellen: Bringe zuerst das x-Glied auf die rechte Seite: 2y = −4x + 10.Auf beiden Seiten 4x subtrahieren.
Durch 2 teilen: Teile jedes Glied durch 2 — also −4x : 2 und 10 : 2.Auch die Zahl rechts wird geteilt, nicht nur das x-Glied.
Lösung: y = −2x + 5, also m = −2 und b = 5.Probe mit x = 1: 4·1 + 2·3 = 10, und y = −2·1 + 5 = 3. ✓
xyy = −2x + 5
Die umgestellte Gerade y = −2x + 5 schneidet die y-Achse bei 5.
A4
Welche Steigung gehört zu welcher Gleichung?
AFB II

Manche Gleichungen musst du erst nach y umstellen, bevor du m ablesen kannst.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Gleichungm = −2m = 0,5m = 3
y = 3x − 1
y = −2x + 4
2y = x + 6
y + 2x = 7
4y = 2x
Drei Zeilen sind erst nach dem Umstellen zu erkennen: 2y = x + 6 wird zu y = 0,5x + 3, y + 2x = 7 wird zu y = −2x + 7 und 4y = 2x wird zu y = 0,5x.
A5
Welcher Punkt liegt auf welcher Geraden?
AFB II

Jede Gerade hat genau einen passenden Punkt. Prüfe durch Einsetzen.

Klicke links eine Gerade an und dann rechts den Punkt, der auf ihr liegt — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Vorgehen: x-Koordinate einsetzen, ausrechnen, mit der y-Koordinate vergleichen. Bei T (5 | −4) liefert −2·5 + 6 genau −4 — der Punkt liegt also auf der Geraden.
A6
Einsetzen und Punktprobe
AFB II

(a) Berechne den y-Wert der Geraden y = −2x + 4 an der Stelle x = −3.  (b) Setze P (2 | 1) in y = 3x − 5 ein: Welchen y-Wert liefert die Gleichung?

Vorzeichen beachten: Bei (a) ist x negativ: −2 · (−3) — minus mal minus ergibt plus.Setze die −3 immer in Klammern ein, dann verrutscht kein Vorzeichen.
Rechnen: (a) −2·(−3) = 6, dazu noch + 4.  (b) 3·2 = 6, davon 5 abziehen.Punkt-vor-Strich: erst multiplizieren, dann addieren.
Lösung: (a) y = 6 + 4 = 10.  (b) y = 6 − 5 = 1 — das ist genau die y-Koordinate von P, also liegt P auf der Geraden.Genau so funktioniert später die Probe beim Gleichungssystem.
xyy = 3x − 5S (2 | 1)
P (2 | 1) liegt auf der Geraden y = 3x − 5.
A7
Gerade aus Punkt und Steigung
AFB III

Eine Gerade g hat die Steigung m = 3 und geht durch den Punkt P(1 | 5).

Ansatz: Die Gleichung hat die Form y = 3x + b. Setze die Koordinaten von P ein: 5 = 3 · 1 + b.Ein Punkt auf der Geraden muss die Gleichung erfüllen — das ist die Punktprobe rückwärts.
Nach b auflösen: 5 = 3 + b — welche Zahl fehlt bis 5? Für (b) machst du danach die Punktprobe mit O(0 | 0).Beim Ursprung ist x = 0 — dann bleibt von der Gleichung nur b übrig.
Lösung: (a) 5 = 3 + b, also b = 2 und g: y = 3x + 2. (b) Für x = 0 liefert die Gleichung y = 2 ≠ 0 — der Ursprung liegt nicht auf g.Eine Gerade geht nur dann durch den Ursprung, wenn b = 0 ist.