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Die Geradengleichung lesen
Jede Gerade im Koordinatensystem lässt sich durch \(y = m \cdot x + b\) beschreiben. Darin steckt alles, was du über die Gerade wissen musst.
- Steigung \(m\):wie steil: 1 nach rechts, \(m\) nach oben (bei negativem \(m\) nach unten).
- y-Achsenabschnitt \(b\):bei \(x = 0\) bleibt \(y = b\) — dort schneidet die Gerade die y-Achse.
- Ablesen:aus \(y = 3x + 2\) folgt sofort \(m = 3\) und \(b = 2\).
- Versteckte Form:steht die Gleichung als \(x + 2y = 8\) da, erst nach \(y\) umstellen.
Merke
Geradengleichung: \(y = m \cdot x + b\)
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Umstellen und Punktprobe
Mit Äquivalenzumformungen bringst du jede Geradengleichung in die Form \(y = mx + b\). Mit der Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt auf der Geraden liegt.
- Umstellen:\(x + 2y = 8 \;|\; -x\), dann \(\;|\; : 2\): \(y = -0{,}5x + 4\).
- Punktprobe:x-Koordinate einsetzen und das Ergebnis mit der y-Koordinate vergleichen.
- Stimmt:gleicher Wert — der Punkt liegt auf der Geraden.
- Stimmt nicht:anderer Wert — der Punkt liegt darüber oder darunter.
Merke
Punktprobe: \(P(x_P \mid y_P)\) liegt auf der Geraden, wenn \(m \cdot x_P + b = y_P\)
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Allgemeine Hinweise
Durch alle Glieder teilen
Bei \(2y = -x + 8 \;|\; : 2\) wird jedes Glied geteilt. Aus der 8 wird also 4, nicht 8.
x einsetzen, y vergleichen
Setze bei der Punktprobe nur die x-Koordinate ein. Das Ergebnis vergleichst du mit der y-Koordinate.
Vorzeichen beim Umstellen
Aus \(-y = -2x + 1\) wird durch \(\cdot (-1)\) die Gleichung \(y = 2x - 1\). Alle Vorzeichen drehen sich.