Die Regentonne läuft leer
AFB IIIm Schulgarten wird eine Regentonne über einen Hahn geleert. Zwei Messwerte wurden notiert (Material M1); dazwischen läuft das Wasser gleichmäßig ab.
Es bezeichne \(t\) die Zeit in Minuten seit dem Öffnen des Hahns und \(V\) die Wassermenge in der Tonne in Litern.
| Zeitpunkt | Wasser in der Tonne |
|---|---|
| nach 3 Minuten | 84 Liter |
| nach 8 Minuten | 54 Liter |
Das Wasser läuft die ganze Zeit gleichmäßig ab; der Hahn wird nicht verstellt.
Beide Messwerte liegen auf einer Geraden — deshalb lässt sich der Vorgang durch eine lineare Gleichung beschreiben.
- Bestimme aus den beiden Messwerten die Gleichung der Geraden in der Form \(V=m\cdot t+b\) und erläutere, was \(m\) und \(b\) im Sachzusammenhang bedeuten.
- Überprüfe durch eine Punktprobe, ob die Punkte \(P(12\,|\,30)\) und \(Q(15\,|\,8)\) auf der Geraden liegen.
- Berechne, nach wie vielen Minuten die Tonne leer ist, und gib an, für welche Zeiten das Modell überhaupt sinnvoll ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Steigung: \(m=\frac{54-84}{8-3}=\frac{-30}{5}=-6\).
\(b\) bestimmen mit dem ersten Messwert: \(84=-6\cdot 3+b\), also \(84=-18+b\) und \(b=102\).
Die Gerade lautet \(V=-6t+102\), üblicher geschrieben \(V=102-6t\).
Bedeutung: \(b=102\) ist die Wassermenge zum Zeitpunkt \(t=0\) — in der Tonne waren beim Öffnen des Hahns 102 Liter. \(m=-6\) bedeutet, dass pro Minute 6 Liter ablaufen; das Minuszeichen zeigt an, dass die Menge abnimmt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Punkt \(P(12\,|\,30)\): \(V=102-6\cdot 12=102-72=30\). Das stimmt mit der \(V\)-Koordinate überein — \(P\) liegt auf der Geraden. Nach 12 Minuten sind also noch 30 Liter in der Tonne.
Punkt \(Q(15\,|\,8)\): \(V=102-6\cdot 15=102-90=12\neq 8\). \(Q\) liegt nicht auf der Geraden; nach 15 Minuten wären noch 12 Liter in der Tonne, nicht 8.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(102-6t=0 \quad\big|\ +6t\)
\(102=6t \quad\big|\ :6\)
\(t=17\)
Nach 17 Minuten ist die Tonne leer.
Sinnvoll ist das Modell nur für \(0\le t\le 17\). Vorher war der Hahn geschlossen, und für \(t>17\) liefert die Gleichung negative Wassermengen — die Tonne kann aber nicht weniger als null Liter enthalten. Ab \(t=17\) bleibt der Wert konstant bei 0 Litern.
Der Akku im Dauertest
AFB IIIFür ein Physikprojekt lässt Jasper sein Handy mit eingeschaltetem Video laufen und notiert alle paar Minuten den Akkustand (Material M3). Zur Modellierung soll eine Gerade durch die Messwerte bei \(t=20\) und \(t=50\) gelegt werden.
Im Klassenchat entstehen daraufhin drei Behauptungen (Material M4).
Es bezeichne \(t\) die Zeit in Minuten und \(A\) den Akkustand in Prozent.
| Zeit t in Minuten | 0 | 20 | 35 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| Akkustand A in Prozent | 92 | 76 | 64 | 52 | 46 |
Für die Modellierung wurden nur die Messwerte bei \(t=20\) und \(t=50\) verwendet.
| Person | Behauptung |
|---|---|
| Jasper | „Alle fünf Messwerte liegen auf einer Geraden.“ |
| Nele | „Nach 2 Stunden hat das Handy \(-4\,\%\) Akku.“ |
| Bo | „Wenn ich die Zeit verdopple, halbiert sich der Akkustand.“ |
Alle drei Behauptungen lassen sich mit der Geradengleichung aus Teilaufgabe a) überprüfen.
- Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Messwerte bei \(t=20\) und \(t=50\).
- Überprüfe Jaspers Behauptung, indem du alle fünf Messwerte einer Punktprobe unterziehst, und gib an, welche Punkte nicht auf der Geraden liegen.
- Berechne, wann der Akku nach dem Modell leer ist, und beurteile Neles Behauptung.
- Widerlege Bos Behauptung durch ein Gegenbeispiel und erkläre, welcher Denkfehler dahintersteckt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Steigung: \(m=\frac{52-76}{50-20}=\frac{-24}{30}=-0{,}8\).
\(b\) bestimmen: \(76=-0{,}8\cdot 20+b\), also \(76=-16+b\) und \(b=92\).
\(A=92-0{,}8t\). Der Akku verliert also 0,8 Prozentpunkte pro Minute und startete bei 92 %.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(t=0\): \(A=92\) — gemessen 92 ✓
\(t=20\): \(A=92-16=76\) — gemessen 76 ✓
\(t=35\): \(A=92-28=64\) — gemessen 64 ✓
\(t=50\): \(A=92-40=52\) — gemessen 52 ✓
\(t=60\): \(A=92-48=44\) — gemessen aber 46 ✗
Jaspers Behauptung ist also falsch: Der Messwert bei \(t=60\) liegt nicht auf der Geraden, er liegt 2 Prozentpunkte darüber. Alle übrigen vier Punkte liegen exakt auf ihr. Solche Abweichungen sind bei echten Messungen normal — der Akku entlädt sich in Wirklichkeit nicht ganz gleichmäßig, und die Anzeige springt in ganzen Prozentschritten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(92-0{,}8t=0 \quad\big|\ +0{,}8t\)
\(92=0{,}8t \quad\big|\ :0{,}8\)
\(t=115\)
Nach dem Modell ist der Akku nach 115 Minuten leer, also nach 1 Stunde und 55 Minuten.
Zu Nele: Rechnerisch stimmt ihr Wert. Für \(t=120\) liefert das Modell \(A=92-0{,}8\cdot 120=92-96=-4\). Im Sachzusammenhang ist die Aussage aber unsinnig, denn ein Akkustand unter 0 % ist unmöglich — das Handy ist zu diesem Zeitpunkt längst ausgegangen. Neles Fehler ist nicht die Rechnung, sondern die Anwendung der Gleichung außerhalb ihres Gültigkeitsbereichs. Sinnvoll ist das Modell nur für \(0\le t\le 115\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Gegenbeispiel: Bei \(t=20\) ist \(A=76\). Verdoppelt man die Zeit auf \(t=40\), so ist \(A=92-0{,}8\cdot 40=92-32=60\). Die Hälfte von 76 wäre 38 — der tatsächliche Wert ist mit 60 weit davon entfernt. Bos Behauptung ist damit widerlegt.
Der Denkfehler: Bo behandelt den Zusammenhang so, als wäre er proportional — als ginge die Gerade durch den Ursprung. Nur bei einer Ursprungsgeraden \(A=m\cdot t\) gilt „doppelte Zeit, doppelter Wert“. Hier startet die Gerade aber bei 92 % und fällt zudem, es ist also eine lineare, aber keine proportionale Zuordnung. Richtig ist stattdessen: In der doppelten Zeit fällt der Akku um den doppelten Betrag — von 20 auf 40 Minuten sind es \(2\cdot 16=32\) Prozentpunkte Verlust, gerechnet vom Startwert 92 %.