Zwei Sparschweine
AFB IILena und Ben sparen für dasselbe Fahrrad. Zu Beginn der Sommerferien haben sie unterschiedlich viel Geld im Sparschwein und legen auch unterschiedlich viel pro Woche zurück (Material M1). Ben liegt am Anfang deutlich vorn, Lena spart dafür schneller.
Es bezeichne \(w\) die Anzahl der vergangenen Wochen und \(G\) das Guthaben in Euro.
| Person | bereits gespart | legt pro Woche zurück |
|---|---|---|
| Lena | 45,00 € | 8,00 € |
| Ben | 93,00 € | 2,00 € |
Beide legen ab derselben Woche regelmäßig denselben Betrag zurück und nehmen nichts heraus.
- Stelle für Lena und für Ben je eine Gleichung für das Guthaben auf.
- Bestimme mit dem Gleichsetzungsverfahren, nach wie vielen Wochen beide gleich viel Geld haben, und interpretiere beide Werte des Ergebnisses im Sachzusammenhang.
- Berechne, wer nach 12 Wochen mehr Geld hat und um wie viel.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Lena: \(G_L=45+8w\). Ben: \(G_B=93+2w\).
Dabei ist 45 bzw. 93 das Startguthaben und 8 bzw. 2 der Betrag, der jede Woche dazukommt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichsetzen der beiden rechten Seiten:
\(45+8w=93+2w \quad\big|\ -2w\)
\(45+6w=93 \quad\big|\ -45\)
\(6w=48 \quad\big|\ :6\)
\(w=8\)
Einsetzen in Lenas Gleichung: \(G=45+8\cdot 8=45+64=109\); Probe mit Bens Gleichung: \(G=93+2\cdot 8=93+16=109\).
\(L=\{(8\,|\,109)\}\).
Im Sachzusammenhang: Nach 8 Wochen haben beide gleich viel gespart, nämlich 109,00 €. Die erste Zahl ist also eine Zeitangabe in Wochen, die zweite ein Geldbetrag in Euro — beide Zahlen bedeuten etwas völlig Verschiedenes und dürfen nicht verwechselt werden.
Die Zeichnung bestätigt die Rechnung: Schnittpunkt bei \(w=8\) und 109 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Lena: \(G_L=45+8\cdot 12=45+96=141\) €.
Ben: \(G_B=93+2\cdot 12=93+24=117\) €.
\(141\ \text{€}-117\ \text{€}=24\ \text{€}\). Nach 12 Wochen hat Lena 24,00 € mehr als Ben. Ab der neunten Woche liegt sie dauerhaft vorn, weil sie jede Woche 6,00 € mehr zurücklegt.
Der Stand beim Schulfest
AFB IIIBeim Schulfest verkauft die Klasse 8b Waffeln und Kakao. Von zwei Bestellungen sind nur noch die Zettel mit den Stückzahlen und dem Gesamtpreis übrig (Material M2). Mit \(x\) für den Preis einer Waffel und \(y\) für den Preis eines Bechers Kakao (jeweils in Euro) gehört dazu das System \(\text{I: } 2x+y=8\) und \(\text{II: } 3x+2y=13\).
Jonas versucht, das System mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, und notiert den Weg in Material M3. Am Ende behauptet er, das Verfahren sei hier nicht anwendbar.
| Bestellung | Waffeln | Becher Kakao | zu zahlen |
|---|---|---|---|
| Bestellung I | 2 | 1 | 8,00 € |
| Bestellung II | 3 | 2 | 13,00 € |
Innerhalb beider Bestellungen kostet jede Waffel gleich viel und jeder Becher Kakao gleich viel.
| Schritt | Notiz |
|---|---|
| 1 | Gleichung I nach \(y\) auflösen: \(y=8-2x\) |
| 2 | Gleichung II nach \(x\) auflösen: \(x=\frac{13-2y}{3}\) |
| 3 | gleichsetzen: \(8-2x=\frac{13-2y}{3}\) |
| 4 | „Da stehen jetzt immer noch beide Variablen drin — das Gleichsetzungsverfahren funktioniert hier also nicht.“ |
Jonas hat sich in Schritt 1 und 2 nicht verrechnet — beide Umformungen sind für sich genommen richtig.
- Erkläre, welche Bedingung beim Gleichsetzungsverfahren erfüllt sein muss, und gib an, in welchem Schritt Jonas sie verletzt.
- Widerlege Jonas' Behauptung aus Schritt 4, indem du das System mit dem Gleichsetzungsverfahren vollständig löst.
- Berechne, was eine Bestellung aus 5 Waffeln und 4 Bechern Kakao kostet, und überprüfe deine Lösung mit der Probe in beiden Ausgangsgleichungen.
- Beurteile die Aussage der Standleiterin: „Beim Gleichsetzen bekommt man hier Brüche, deshalb ist das Additionsverfahren bei diesem System grundsätzlich das bessere Verfahren.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beim Gleichsetzungsverfahren müssen beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sein. Nur dann steht auf beiden linken Seiten dasselbe, und nur dann dürfen die rechten Seiten gleichgesetzt werden.
Jonas verletzt diese Bedingung in Schritt 2: Er löst Gleichung I nach \(y\) auf, Gleichung II aber nach \(x\). In Schritt 3 setzt er deshalb \(y\) und \(x\) gleich — zwei Terme, die gar nichts miteinander zu tun haben. Dass danach noch beide Variablen in der Gleichung stehen, ist die Folge dieses Fehlers, nicht ein Mangel des Verfahrens.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beide Gleichungen werden nach \(y\) aufgelöst:
I: \(2x+y=8 \quad\Longrightarrow\quad y=8-2x\)
II: \(3x+2y=13 \quad\big|\ -3x \quad\Longrightarrow\quad 2y=13-3x \quad\big|\ :2 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{13-3x}{2}\)
Gleichsetzen:
\(8-2x=\frac{13-3x}{2} \quad\big|\ \cdot 2\)
\(16-4x=13-3x \quad\big|\ +4x\)
\(16=13+x \quad\big|\ -13\)
\(x=3\)
Einsetzen in \(y=8-2x\): \(y=8-2\cdot 3=2\). Also \(L=\{(3\,|\,2)\}\): Eine Waffel kostet 3,00 €, ein Becher Kakao 2,00 €.
Damit ist Jonas' Behauptung widerlegt — das Gleichsetzungsverfahren führt hier sehr wohl zum Ziel.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
5 Waffeln und 4 Becher Kakao: \(5\cdot 3{,}00\ \text{€}+4\cdot 2{,}00\ \text{€}=15{,}00\ \text{€}+8{,}00\ \text{€}=23{,}00\ \text{€}\).
Probe in I: \(2\cdot 3+2=6+2=8\) — richtig.
Probe in II: \(3\cdot 3+2\cdot 2=9+4=13\) — richtig. Beide Bestellzettel werden also getroffen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage ist nur zum Teil richtig.
Richtig ist die Beobachtung: Beim Auflösen von Gleichung II nach \(y\) entsteht der Bruch \(\frac{13-3x}{2}\), den man anschließend durch Multiplikation mit 2 wieder loswerden muss. Das Additionsverfahren kommt hier tatsächlich mit weniger Schritten aus: I mit \(-2\) multiplizieren ergibt \(-4x-2y=-16\), addiert zu II folgt sofort \(-x=-3\), also \(x=3\).
Falsch ist das Wort „grundsätzlich“. Brüche machen kein Verfahren unmöglich — in Teilaufgabe b) ist das Gleichsetzungsverfahren vollständig durchgelaufen und hat dieselbe Lösung geliefert. Alle drei Verfahren benutzen nur Äquivalenzumformungen und führen deshalb immer zur selben Lösungsmenge. Die Wahl des Verfahrens ist also eine Frage der Bequemlichkeit, nicht der Richtigkeit. Und sie hängt vom System ab: Stünden beide Gleichungen bereits in der Form \(y=\dots\) — wie bei den Sparplänen in Aufgabe 1 —, wäre das Gleichsetzungsverfahren das schnellste von allen.