Hunde und Katzen im Tierheim
AFB IIEin Tierheim veröffentlicht jeden Abend einen kurzen Tagesbericht (Material M1). Die Anzahl der Hunde und die Anzahl der Katzen stehen dort nicht — wohl aber die Gesamtzahl der Tiere und die gesamten Futterkosten.
Es bezeichne \(x\) die Anzahl der Hunde und \(y\) die Anzahl der Katzen.
| Angabe | Wert |
|---|---|
| Anzahl der Hunde und Katzen zusammen | 30 Tiere |
| Futterkosten je Hund und Tag | 2,00 € |
| Futterkosten je Katze und Tag | 1,20 € |
| Futterkosten aller Tiere an einem Tag | 51,20 € |
Im Tierheim leben an diesem Tag nur Hunde und Katzen; jedes Tier bekommt genau eine Tagesration.
- Stelle ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf und erläutere, was die beiden Gleichungen jeweils zusammenzählen.
- Löse das System mit dem Einsetzungsverfahren und gib die Anzahl der Hunde und der Katzen an.
- Überprüfe deine Lösung mit der Probe in beiden Ausgangsgleichungen und berechne, wie hoch die Futterkosten für eine ganze Woche sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } x+y=30\)
\(\text{II: } 2x+1{,}2y=51{,}2\)
Gleichung I zählt die Tiere: Hunde und Katzen zusammen ergeben 30 Tiere. Gleichung II zählt das Geld: \(x\) Hunde verursachen \(2x\) Euro Futterkosten, \(y\) Katzen verursachen \(1{,}2y\) Euro; zusammen sind das 51,20 €.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I nach \(x\) auflösen: \(x=30-y\). Einsetzen in II:
\(2\cdot(30-y)+1{,}2y=51{,}2\)
\(60-2y+1{,}2y=51{,}2\)
\(60-0{,}8y=51{,}2 \quad\big|\ -60\)
\(-0{,}8y=-8{,}8 \quad\big|\ :(-0{,}8)\)
\(y=11\)
Zurücksetzen in die aufgelöste Gleichung: \(x=30-11=19\).
\(L=\{(19\,|\,11)\}\). Im Tierheim leben 19 Hunde und 11 Katzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Probe in I: \(19+11=30\) — richtig.
Probe in II: \(2\cdot 19+1{,}2\cdot 11=38+13{,}20=51{,}20\) — richtig.
Futterkosten für eine Woche: \(7\cdot 51{,}20\ \text{€}=358{,}40\ \text{€}\).
Wie alt ist Frau Krause?
AFB IIIBeim Abendessen kommt die Familie Krause auf das Alter zu sprechen. Zwei Aussagen stehen dabei fest (Material M2), und aus ihnen lässt sich das Alter beider Personen eindeutig bestimmen.
Es bezeichne \(x\) das heutige Alter von Frau Krause und \(y\) das heutige Alter von Nils, jeweils in Jahren.
| Zeitpunkt | Aussage |
|---|---|
| heute | Frau Krause ist dreimal so alt wie ihr Sohn Nils. |
| in 12 Jahren | Frau Krause ist dann nur noch doppelt so alt wie Nils. |
Beide werden im selben Zeitraum gleich viele Jahre älter — das ist der Schlüssel zur zweiten Gleichung.
| Person | Behauptung |
|---|---|
| Nils | „In 24 Jahren ist Mama genau eineinhalbmal so alt wie ich.“ |
| Frau Krause | „Irgendwann bin ich genauso alt wie du — die Zahlen nähern sich ja immer weiter an.“ |
Beide Behauptungen lassen sich mit den in b) berechneten Altersangaben überprüfen.
- Stelle aus den beiden Aussagen in Material M2 ein lineares Gleichungssystem auf.
- Löse das System mit dem Einsetzungsverfahren und gib das heutige Alter beider Personen an.
- Überprüfe die beiden Behauptungen aus Material M3 und begründe jeweils dein Ergebnis.
- Beurteile die Aussage von Nils' Lehrer: „Bei Altersaufgaben ist das Einsetzungsverfahren immer die beste Wahl.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Heute: \(\text{I: } x=3y\).
In 12 Jahren ist Frau Krause \(x+12\) Jahre alt und Nils \(y+12\) Jahre. Dann gilt:
\(\text{II: } x+12=2\cdot(y+12)\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I ist bereits nach \(x\) aufgelöst. Einsetzen in II:
\(3y+12=2\cdot(y+12)\)
\(3y+12=2y+24 \quad\big|\ -2y\)
\(y+12=24 \quad\big|\ -12\)
\(y=12\)
Zurücksetzen in I: \(x=3\cdot 12=36\).
\(L=\{(36\,|\,12)\}\). Frau Krause ist heute 36 Jahre alt, Nils 12 Jahre.
Probe: \(36=3\cdot 12\) — richtig. In 12 Jahren: \(48=2\cdot 24\) — ebenfalls richtig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nils' Behauptung ist falsch. In 24 Jahren ist Frau Krause \(36+24=60\) Jahre alt und Nils \(12+24=36\) Jahre. Es gilt \(60:36=\frac{5}{3}\approx 1{,}67\), nicht 1,5. Eineinhalbmal so alt wäre sie erst bei \(x+t=1{,}5\cdot(y+t)\), also \(36+t=1{,}5\cdot(12+t)\), woraus \(36+t=18+1{,}5t\) und damit \(t=36\) folgt: erst in 36 Jahren, mit 72 und 48 Jahren.
Die Behauptung von Frau Krause ist ebenfalls falsch. Der Altersunterschied beträgt \(36-12=24\) Jahre und bleibt für immer gleich, weil beide in jedem Jahr genau ein Jahr älter werden. Aus \(36+t=12+t\) folgt \(36=12\), eine falsche Aussage — es gibt also keinen Zeitpunkt \(t\), zu dem beide gleich alt sind. Was sich tatsächlich annähert, ist nur das Verhältnis der beiden Alter: Es fällt von 3 über \(\frac{5}{3}\) immer weiter Richtung 1, erreicht die 1 aber nie.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage ist in dieser Form nicht haltbar.
Richtig ist der Kern: Bei Altersaufgaben entsteht sehr oft eine Gleichung der Form \(x=3y\) oder \(x=y+24\) — eine Variable steht dann schon allein auf einer Seite. In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren tatsächlich der kürzeste Weg, weil man gar nicht mehr umformen muss, sondern den fertigen Term direkt einsetzen kann. Genau das war hier in Teilaufgabe b) der Fall.
Falsch ist das Wort „immer“. Es gibt Altersaufgaben, die auf ein System wie \(\text{I: } 2x+3y=126\) und \(\text{II: } 5x-2y=147\) führen; dort steht vor keiner Variablen eine 1, und das Auflösen erzeugt sofort Brüche. Dann ist das Additionsverfahren günstiger. Entscheidend ist also nicht das Thema der Aufgabe, sondern die Bauform des Gleichungssystems: Steht irgendwo eine Variable mit dem Faktor 1, lohnt sich das Einsetzen; stehen gleiche oder leicht angleichbare Koeffizienten da, lohnt sich das Addieren.