Anna und Ben fahren aufeinander zu
AFB IIAnna startet in Hannover, Ben zur selben Zeit in Celle. Die beiden Orte liegen 45 km auseinander, und die beiden fahren auf demselben Radweg aufeinander zu (Material M1). Nach 1,5 Stunden treffen sie sich. Anna fährt dabei 4 km/h schneller als Ben.
Es bezeichne \(x\) Annas Geschwindigkeit und \(y\) Bens Geschwindigkeit, jeweils in Kilometern pro Stunde.
Beide starten gleichzeitig und fahren die ganze Zeit mit gleichbleibender Geschwindigkeit; Pausen gibt es nicht.
| Angabe | Wert |
|---|---|
| Entfernung Hannover – Celle | 45 km |
| Zeit bis zum Treffen | 1,5 h |
| Anna ist schneller als Ben um | 4 km/h |
Gesucht sind die beiden Geschwindigkeiten in Kilometern pro Stunde.
- Erkläre, warum die von beiden zurückgelegten Strecken zusammen 45 km ergeben, und stelle ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf.
- Löse das System mit dem Additionsverfahren und interpretiere beide Werte im Sachzusammenhang.
- Berechne, wie viele Kilometer jede der beiden Personen bis zum Treffpunkt zurückgelegt hat, und überprüfe damit deine Lösung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beide starten gleichzeitig an den beiden Enden der Strecke und fahren aufeinander zu. Im Moment des Treffens ist zwischen ihnen kein Abstand mehr — gemeinsam haben sie also die gesamte Entfernung von 45 km zurückgelegt. Weil beide 1,5 Stunden unterwegs sind, gilt \(1{,}5x+1{,}5y=45\).
Die zweite Angabe „Anna ist 4 km/h schneller“ bedeutet \(x-y=4\). Damit lautet das System:
\(\text{I: } 1{,}5x+1{,}5y=45\)
\(\text{II: } x-y=4\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I wird zuerst durch 1,5 geteilt:
\(\text{I}:1{,}5:\quad x+y=30\)
Jetzt sind die Koeffizienten vor \(y\) Gegenzahlen. Addition mit II:
\((x+x)+(y-y)=30+4\)
\(2x=34 \quad\big|\ :2\)
\(x=17\)
Einsetzen in \(x+y=30\): \(17+y=30\), also \(y=13\).
\(L=\{(17\,|\,13)\}\).
Im Sachzusammenhang: Anna fährt 17 km/h, Ben 13 km/h. Die Differenz beträgt tatsächlich 4 km/h, und zusammen legen sie in einer Stunde 30 km zurück — deshalb brauchen sie für 45 km genau 1,5 Stunden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Anna: \(17\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 1{,}5\ \text{h}=25{,}5\ \text{km}\).
Ben: \(13\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 1{,}5\ \text{h}=19{,}5\ \text{km}\).
Zusammen: \(25{,}5\ \text{km}+19{,}5\ \text{km}=45\ \text{km}\) — genau die Entfernung zwischen den beiden Orten. Der Treffpunkt liegt also 25,5 km von Hannover und 19,5 km von Celle entfernt; Anna hat den längeren Weg, weil sie schneller fährt.
Die Saftmischung der Schülerfirma
AFB IIIDie Schülerfirma will für das Sommerfest 12 Liter eines Mischgetränks mit einem Fruchtanteil von 45 % ansetzen. Dafür stehen zwei Säfte mit unterschiedlichem Fruchtanteil zur Verfügung (Material M2).
Es bezeichne \(x\) die eingesetzte Menge von Saft P und \(y\) die eingesetzte Menge von Saft Q, jeweils in Litern. In der Firmensitzung fallen dazu zwei Behauptungen (Material M3).
| Getränk | Fruchtanteil | Vorrat |
|---|---|---|
| Saft P (Apfel-Direktsaft) | 30 % | 9 Liter |
| Saft Q (Fruchtnektar) | 70 % | 6 Liter |
| gewünschte Mischung | 45 % | 12 Liter |
Beim Mischen geht nichts verloren: Die Gesamtmenge ist die Summe der beiden eingesetzten Mengen.
| Person | Behauptung |
|---|---|
| Yusuf | „45 % liegt genau in der Mitte zwischen 30 % und 70 %. Also nehmen wir von beiden Säften 6 Liter.“ |
| Clara | „Bei Mischungsaufgaben braucht man immer das Additionsverfahren, weil zwei verschiedene Größen zusammenkommen.“ |
Beide Behauptungen lassen sich mit der Rechnung aus Teilaufgabe b) überprüfen.
- Stelle ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf und erläutere, was die beiden Gleichungen jeweils bilanzieren.
- Löse das System und überprüfe, ob die Vorräte der Schülerfirma ausreichen.
- Widerlege Yusufs Behauptung durch eine Rechnung und erkläre, woher seine Fehlvorstellung kommt.
- Nimm zu Claras Behauptung Stellung, indem du dasselbe System auch mit einem zweiten Verfahren löst.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } x+y=12\)
\(\text{II: } 0{,}3x+0{,}7y=5{,}4\)
Gleichung I bilanziert die Menge: Die beiden eingesetzten Säfte ergeben zusammen die gewünschten 12 Liter. Gleichung II bilanziert den Fruchtanteil: In \(x\) Litern Saft P stecken \(0{,}3x\) Liter Frucht, in \(y\) Litern Saft Q stecken \(0{,}7y\) Liter Frucht. Zusammen müssen das \(0{,}45\cdot 12\ \text{L}=5{,}4\ \text{L}\) sein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I nach \(y\) auflösen: \(y=12-x\). Einsetzen in II:
\(0{,}3x+0{,}7\cdot(12-x)=5{,}4\)
\(0{,}3x+8{,}4-0{,}7x=5{,}4\)
\(8{,}4-0{,}4x=5{,}4 \quad\big|\ -8{,}4\)
\(-0{,}4x=-3 \quad\big|\ :(-0{,}4)\)
\(x=7{,}5\)
Zurücksetzen: \(y=12-7{,}5=4{,}5\). Also \(L=\{(7{,}5\,|\,4{,}5)\}\).
Probe in II: \(0{,}3\cdot 7{,}5+0{,}7\cdot 4{,}5=2{,}25+3{,}15=5{,}4\) — richtig.
Benötigt werden 7,5 Liter Saft P und 4,5 Liter Saft Q. Vorhanden sind 9 Liter P und 6 Liter Q — beides reicht aus; übrig bleiben 1,5 Liter P und 1,5 Liter Q.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gegenrechnung zu Yusufs Vorschlag: 6 Liter P und 6 Liter Q enthalten \(0{,}3\cdot 6+0{,}7\cdot 6=1{,}8+4{,}2=6\) Liter Frucht. Bezogen auf 12 Liter Mischung sind das \(\frac{6}{12}=0{,}5\), also 50 % und nicht die geforderten 45 %. Damit ist Yusufs Vorschlag widerlegt.
Woher der Fehler kommt: Yusuf rechnet mit dem Mittelwert von 30 % und 70 %, und der ist tatsächlich 50 %. Gleiche Anteile von beiden Säften führen also genau auf die Mitte — nur ist die Mitte hier eben 50 % und nicht 45 %. Weil das Ziel unterhalb der Mitte liegt, muss vom schwächeren Saft P mehr genommen werden als vom stärkeren Saft Q. Genau das zeigt die Lösung aus b): 7,5 Liter P gegenüber 4,5 Litern Q.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Claras Behauptung ist falsch, jedenfalls in dieser Allgemeinheit.
Nachweis mit dem Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen werden nach \(y\) aufgelöst.
I: \(y=12-x\).
II: \(0{,}7y=5{,}4-0{,}3x\), also \(y=\frac{5{,}4-0{,}3x}{0{,}7}\).
Gleichsetzen: \(12-x=\frac{5{,}4-0{,}3x}{0{,}7} \quad\big|\ \cdot 0{,}7\)
\(8{,}4-0{,}7x=5{,}4-0{,}3x \quad\big|\ +0{,}7x\)
\(8{,}4=5{,}4+0{,}4x \quad\big|\ -5{,}4\)
\(3=0{,}4x \quad\big|\ :0{,}4\)
\(x=7{,}5\), und damit \(y=4{,}5\) — dieselbe Lösung wie in b).
Damit ist gezeigt: Auch das Gleichsetzungsverfahren führt bei dieser Mischungsaufgabe zum Ziel, ebenso wie das in b) verwendete Einsetzungsverfahren. Alle drei Verfahren benutzen ausschließlich Äquivalenzumformungen und liefern deshalb bei jedem lösbaren System dieselbe Lösungsmenge.
Ein wahrer Kern steckt trotzdem in Claras Satz: Mischungsaufgaben führen fast immer auf eine Gleichung der Form \(x+y=\text{Gesamtmenge}\), in der vor beiden Variablen eine 1 steht. Genau dann ist das Einsetzungsverfahren besonders bequem — was Clara sagt, gilt also eher für das Einsetzen als für das Addieren, und auch dort nur als Empfehlung, nicht als Zwang.