Zwei Bons vom Wochenmarkt
AFB IIHerr Adler kauft jeden Samstag auf dem Wochenmarkt Obst. Von zwei Einkäufen sind noch die Kassenbons da — allerdings ohne die Kilopreise (Material M1).
Es bezeichne \(x\) den Preis für ein Kilogramm Äpfel und \(y\) den Preis für ein Kilogramm Birnen, jeweils in Euro.
| Bon | Äpfel | Birnen | Gesamtpreis |
|---|---|---|---|
| Bon I | 3 kg | 2 kg | 11,60 € |
| Bon II | 5 kg | 4 kg | 20,80 € |
An beiden Tagen galt derselbe Kilopreis für Äpfel und derselbe für Birnen.
- Stelle ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf.
- Gib an, mit welchen Faktoren du die beiden Gleichungen multiplizierst, damit die Koeffizienten vor \(y\) Gegenzahlen werden, und löse das System mit dem Additionsverfahren.
- Zeige mit der Probe, dass dein Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllt, und berechne, was 4 kg Äpfel und 3 kg Birnen kosten.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } 3x+2y=11{,}6\)
\(\text{II: } 5x+4y=20{,}8\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Vor \(y\) stehen 2 und 4. Multipliziert man Gleichung I mit \(-2\), so entsteht dort \(-4y\) — die Gegenzahl zu \(+4y\) in Gleichung II. Gleichung II bleibt unverändert (Faktor 1).
\(\text{I}\cdot(-2):\quad -6x-4y=-23{,}2\)
Addition mit II:
\((-6x+5x)+(-4y+4y)=-23{,}2+20{,}8\)
\(-x=-2{,}4 \quad\big|\ :(-1)\)
\(x=2{,}4\)
Einsetzen in I: \(3\cdot 2{,}4+2y=11{,}6\), also \(7{,}2+2y=11{,}6\), damit \(2y=4{,}4\) und \(y=2{,}2\).
\(L=\{(2{,}4\,|\,2{,}2)\}\). Ein Kilogramm Äpfel kostet 2,40 €, ein Kilogramm Birnen 2,20 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Probe in I: \(3\cdot 2{,}40+2\cdot 2{,}20=7{,}20+4{,}40=11{,}60\) — richtig.
Probe in II: \(5\cdot 2{,}40+4\cdot 2{,}20=12{,}00+8{,}80=20{,}80\) — richtig. Beide Bons werden getroffen.
4 kg Äpfel und 3 kg Birnen: \(4\cdot 2{,}40\ \text{€}+3\cdot 2{,}20\ \text{€}=9{,}60\ \text{€}+6{,}60\ \text{€}=16{,}20\ \text{€}\).
Die Abrechnung des Kinos
AFB IIIEin kleines Programmkino rechnet zwei Vorstellungen ab (Material M2). Die Eintrittspreise stehen nicht auf dem Zettel. Mit \(x\) für den Preis einer Erwachsenenkarte und \(y\) für den Preis einer Kinderkarte (jeweils in Euro) gehört dazu das System \(\text{I: } 4x+3y=47{,}5\) und \(\text{II: } 2x+5y=39{,}5\).
Merve löst das System und notiert ihren Weg in Material M3. Am Ende ist sie überzeugt, fertig zu sein.
| Vorstellung | Erwachsene | Kinder | Einnahmen |
|---|---|---|---|
| Vorstellung I | 4 | 3 | 47,50 € |
| Vorstellung II | 2 | 5 | 39,50 € |
In beiden Vorstellungen galten dieselben Eintrittspreise; andere Einnahmen gab es nicht.
| Schritt | Notiz aus dem Heft |
|---|---|
| 1 | „Beim Additionsverfahren addiert man die Gleichungen.“ |
| 2 | \(\text{I}+\text{II}:\quad (4x+2x)+(3y+5y)=47{,}50+39{,}50\) |
| 3 | \(6x+8y=87\) |
| 4 | „Jetzt habe ich nur noch eine Gleichung — also ist das System gelöst.“ |
Merve hat sich in Schritt 2 und 3 nicht verrechnet: Die Addition ist rechnerisch korrekt ausgeführt.
- Erkläre, welches Ziel das Additionsverfahren verfolgt, und gib an, warum Merves Schritt 3 dieses Ziel verfehlt.
- Widerlege Merves Schluss aus Schritt 4, indem du zeigst, dass zu ihrer Gleichung \(6x+8y=87\) mehr als ein Zahlenpaar passt.
- Berechne die beiden Eintrittspreise mit dem Additionsverfahren und überprüfe dein Ergebnis mit der Probe.
- Beurteile Merves Erklärungsversuch: „Mein Fehler war nur, dass ich die falschen Gleichungen erwischt habe — bei zwei anderen Gleichungen hätte einfaches Addieren funktioniert.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Additionsverfahren verfolgt genau ein Ziel: Durch geschicktes Addieren soll eine Variable verschwinden, damit eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten übrig bleibt. Diese lässt sich dann lösen.
Merves Schritt 3 verfehlt dieses Ziel: In \(6x+8y=87\) stehen weiterhin beide Variablen. Sie hat zwar richtig addiert, aber die Koeffizienten vorher nicht angepasst. Da \(4x\) und \(2x\) keine Gegenzahlen sind und \(3y\) und \(5y\) ebenfalls nicht, fällt beim Addieren nichts weg. Ihre neue Gleichung ist zwar richtig, aber wertlos für die Lösung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für \(x=8{,}5\): \(6\cdot 8{,}5+8y=87\), also \(51+8y=87\), damit \(8y=36\) und \(y=4{,}5\). Das Paar \((8{,}5\,|\,4{,}5)\) erfüllt Merves Gleichung.
Für \(x=10\): \(60+8y=87\), also \(8y=27\) und \(y=3{,}375\). Auch das Paar \((10\,|\,3{,}375)\) erfüllt Merves Gleichung.
Es gibt also mindestens zwei — tatsächlich unendlich viele — Zahlenpaare, die \(6x+8y=87\) erfüllen. Eine einzelne Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine ganze Gerade, nicht einen einzelnen Punkt. Merve hat das System deshalb nicht gelöst. Zusätzlich zeigt die Probe: \((10\,|\,3{,}375)\) erfüllt zwar ihre Gleichung, aber nicht Gleichung I, denn \(4\cdot 10+3\cdot 3{,}375=53{,}125\neq 47{,}50\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\text{II}\cdot(-2):\quad -4x-10y=-79\)
Addition mit I:
\((4x-4x)+(3y-10y)=47{,}5-79\)
\(-7y=-31{,}5 \quad\big|\ :(-7)\)
\(y=4{,}5\)
Einsetzen in I: \(4x+3\cdot 4{,}5=47{,}5\), also \(4x=47{,}5-13{,}5=34\) und \(x=8{,}5\).
Probe in I: \(4\cdot 8{,}50+3\cdot 4{,}50=34{,}00+13{,}50=47{,}50\) — richtig.
Probe in II: \(2\cdot 8{,}50+5\cdot 4{,}50=17{,}00+22{,}50=39{,}50\) — richtig.
\(L=\{(8{,}5\,|\,4{,}5)\}\): Eine Erwachsenenkarte kostet 8,50 €, eine Kinderkarte 4,50 €.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Merves Erklärung trifft nur die Hälfte.
Richtig ist: Es gibt Systeme, bei denen reines Addieren sofort zum Ziel führt. Bei \(\text{I: } x+y=18\) und \(\text{II: } x-y=12\) etwa sind die Koeffizienten vor \(y\) bereits Gegenzahlen; die Addition liefert direkt \(2x=30\). Insofern hat sie recht, dass es „günstige“ Gleichungspaare gibt.
Falsch ist die Vorstellung, es sei reine Glückssache. Ob sich sofort addieren lässt, sieht man den Koeffizienten vor dem Rechnen an: Man braucht bei einer Variablen zwei Zahlen, die zusammen null ergeben. Trifft das nicht zu — wie hier bei 4 und 2 —, ist das kein Grund aufzugeben, sondern der normale Fall: Man multipliziert eine oder beide Gleichungen mit einem passenden Faktor und stellt die Gegenzahlen selbst her. Genau dieser Zwischenschritt fehlt in Merves Rechnung. Das Additionsverfahren funktioniert also bei jedem linearen Gleichungssystem, nur eben nicht immer im ersten Schritt.