Der Lageplan des Schulhofs
AFB IFür den Tag der offenen Tür zeichnet die Klasse 8b einen Lageplan des Schulhofs (Material M1). Der Fahnenmast in der Mitte des Hofs ist der Ursprung des Koordinatensystems. Die \(x\)-Achse zeigt nach Osten, die \(y\)-Achse nach Norden; ein Kästchen steht für einen Meter.
Eingetragen sind fünf Orte: \(K\) der Kletterturm, \(F\) der Fahrradständer, \(T\) die Tischtennisplatte, \(B\) der Basketballkorb und \(S\) die Sitzbank.
Ein Kästchen entspricht einem Meter. Der Fahnenmast liegt im Ursprung; nach Osten und nach Norden zählen die Meter positiv, nach Westen und nach Süden negativ.
- Lies die Koordinaten der Punkte \(K\), \(F\) und \(B\) ab und gib sie in der Form \(P(x\mid y)\) an.
- Nenne zu \(T\) und zu \(B\) jeweils den Quadranten. Bei \(S\) ist keine solche Angabe möglich — begründe, warum.
- Neben dem Fahnenmast soll ein Trinkbrunnen \(L\) entstehen: 3 m westlich und 6 m nördlich vom Mast. Beschreibe, wie du \(L\) einträgst, und gib seine Koordinaten an. Beschreibe außerdem, welchen Ort du treffen würdest, wenn du die beiden Zahlen vertauschst.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(K\): vom Ursprung 6 Kästchen nach rechts und 4 nach oben, also \(K(6\mid 4)\).
\(F\): 8 Kästchen nach links und 3 nach oben, also \(F(-8\mid 3)\).
\(B\): 7 Kästchen nach rechts und 2 nach unten, also \(B(7\mid -2)\).
Der Kletterturm liegt bei \(K(6\mid 4)\), der Fahrradständer bei \(F(-8\mid 3)\) und der Basketballkorb bei \(B(7\mid -2)\); alle Zahlen sind Meter vom Fahnenmast aus.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(T(-4\mid -6)\): beide Koordinaten sind negativ — der Punkt liegt links unten, also im III. Quadranten.
\(B(7\mid -2)\): die \(x\)-Koordinate ist positiv, die \(y\)-Koordinate negativ — rechts unten, also im IV. Quadranten.
\(S(0\mid -5)\): hier ist \(x=0\). Der Punkt liegt damit genau auf der \(y\)-Achse. Die Achsen begrenzen die Quadranten, gehören aber zu keinem von ihnen — deshalb lässt sich für die Sitzbank kein Quadrant angeben.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Eintragen: Start am Fahnenmast, also im Ursprung. Zuerst 3 m nach Westen, das sind 3 Kästchen nach links (\(x=-3\)). Von dort 6 m nach Norden, also 6 Kästchen nach oben (\(y=6\)).
\(L(-3\mid 6)\) — der Trinkbrunnen liegt im II. Quadranten.
Vertauscht man die Zahlen, erhält man \((6\mid -3)\): 6 m nach Osten und 3 m nach Süden. Das ist eine ganz andere Ecke des Schulhofs, nämlich der IV. Quadrant in der Nähe des Basketballkorbs. Die Reihenfolge erst \(x\), dann \(y\) ist also fest und darf nicht getauscht werden.
Der Kettcar-Verleih beim Schulfest
AFB IIIBeim Schulfest verleiht die Technik-AG Kettcars an Besucherinnen und Besucher. Am Stand hängt nur eine Preistabelle; sie ordnet jeder Verleihdauer den zu zahlenden Preis zu. Tabelle und Koordinatensystem stehen in Material M2.
Mika schaut kurz auf die Tabelle und sagt: „Zwei Stunden kosten 7 €. Also kosten vier Stunden 14 € — doppelte Zeit, doppelter Preis.“
| Verleihdauer \(t\) in h | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Preis \(p\) in € | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
Jede Spalte der Tabelle liefert einen Punkt. Gestrichelt eingezeichnet ist zusätzlich die Gerade durch den Ursprung und den Punkt \((2\mid 7)\).
- Lies alle Wertepaare aus der Tabelle ab und gib sie in der Form \(P(t\mid p)\) an.
- Beschreibe, wie sich der Preis ändert, wenn die Verleihdauer um eine Stunde wächst. Untersuche anschließend, ob die eingetragenen Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.
- Beurteile Mikas Aussage. Zeige dazu mithilfe der Tabelle, was vier Stunden wirklich kosten, und erkläre, worin Mikas Denkfehler besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus jeder Spalte wird ein Wertepaar: oben die Verleihdauer, unten der Preis.
\(P_1(1\mid 5)\), \(P_2(2\mid 7)\), \(P_3(3\mid 9)\), \(P_4(4\mid 11)\), \(P_5(5\mid 13)\).
Die fünf Wertepaare lauten (1 h | 5 €), (2 h | 7 €), (3 h | 9 €), (4 h | 11 €) und (5 h | 13 €); genau so sind sie in M2 eingetragen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Preise benachbarter Spalten: \(5 \to 7 \to 9 \to 11 \to 13\).
\(7-5=2\), \(9-7=2\), \(11-9=2\), \(13-11=2\).
Jede zusätzliche Stunde kostet also gleichbleibend 2 € mehr. Deshalb liegen die Punkte auf einer Geraden.
Diese Gerade geht aber nicht durch den Ursprung: Geht man von \(P_1(1\mid 5)\) eine Stunde zurück, bleiben \(5\ \text{€} - 2\ \text{€} = 3\ \text{€}\) übrig, die Gerade trifft die Preisachse also bei 3 €. Auch die gestrichelte Ursprungsgerade in M2 verläuft nur durch \(P_2\) und sonst neben allen Punkten.
Der Preis steigt gleichmäßig um 2 € je Stunde, die Punkte liegen aber auf einer Geraden, die die Preisachse bei 3 € schneidet — nicht auf einer Geraden durch den Ursprung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ablesen in der Tabelle: Zu \(t=4\ \text{h}\) gehört \(p=11\ \text{€}\).
Mikas Wert: \(2 \cdot 7\ \text{€} = 14\ \text{€}\). Das sind 3 € zu viel.
Mikas Aussage ist damit falsch.
Der Denkfehler: Nur wenn alle Punkte einer Zuordnung auf einer Geraden durch den Ursprung liegen, gehört zur doppelten Zeit auch der doppelte Preis. Hier ist das nicht so. Im Preis steckt eine feste Grundgebühr von 3 €, die nur einmal bezahlt wird; dazu kommen 2 € für jede Stunde. Beim Verdoppeln hat Mika die Grundgebühr mitverdoppelt: \(2 \cdot 7\ \text{€} = 2 \cdot 3\ \text{€} + 2 \cdot 4\ \text{€}\), also 6 € Grundgebühr statt 3 €.
Richtig ist \(3\ \text{€} + 4 \cdot 2\ \text{€} = 11\ \text{€}\): Vier Stunden Kettcar-Verleih kosten 11 € und nicht 14 €.