Das Streichholzmuster
AFB I–IIAus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt (Material M1). Benachbarte Quadrate teilen sich ein Streichholz. Für die Anzahl der Streichhölzer in Figur \(n\) gilt der Term \(3n + 1\).
Jede neue Figur bekommt rechts ein Quadrat dazu.
- Bestätige den Term an den Figuren 1 bis 3 und berechne die Anzahl der Streichhölzer für Figur 20.
- Eine Figur besteht aus genau 100 Streichhölzern. Stelle eine Gleichung auf, löse sie mit Äquivalenzumformungen und mache die Probe.
- Entscheide, ob man mit genau 50 Streichhölzern eine vollständige Figur legen kann. Begründe deine Entscheidung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(n = 1\): \(3 \cdot 1 + 1 = 4\); \(n = 2\): \(3 \cdot 2 + 1 = 7\); \(n = 3\): \(3 \cdot 3 + 1 = 10\) — stimmt mit M1 überein.
Figur 20: \(3 \cdot 20 + 1 = 61\) Streichhölzer.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(3n + 1 = 100 \quad \mid -1\)
\(3n = 99 \quad \mid :3\)
\(n = 33\)
Probe: \(3 \cdot 33 + 1 = 99 + 1 = 100\) ✓ — Figur 33 besteht aus 100 Streichhölzern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(3n + 1 = 50 \;\Rightarrow\; 3n = 49 \;\Rightarrow\; n = \tfrac{49}{3} \approx 16{,}33\)
\(n\) ist keine natürliche Zahl, also gibt es keine Figur mit genau 50 Streichhölzern.
Figur 16 braucht 49 Streichhölzer, Figur 17 schon 52. Mit 50 Streichhölzern legt man Figur 16, und eines bleibt übrig.
Die Wahl der Stufensprecherin
AFB II–IIIBei der Wahl der Stufensprecherin der Jahrgangsstufe 8 wurden 40 gültige Stimmen abgegeben. Drei Personen standen zur Wahl. Die Wahlleitung veröffentlicht das Ergebnis in zwei verschiedenen Schreibweisen (Material M2).
Ben freut sich: „Ich habe gewonnen! 0,35 ist mehr als \(\tfrac{3}{8}\), denn 35 ist größer als 3 und größer als 8.“
| Kandidat/in | Anteil der Stimmen |
|---|---|
| Anna | \(\tfrac{3}{8}\) |
| Ben | 0,35 |
| Cem | Rest |
- Gib Annas Anteil als Dezimalzahl und Bens Anteil als vollständig gekürzten Bruch an.
- Berechne Cems Anteil als Dezimalzahl und als Bruch sowie die Stimmenzahl aller drei Personen.
- Beurteile Bens Aussage und erkläre, wie man Bruch und Dezimalzahl zuverlässig vergleicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\tfrac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\)
\(0{,}35 = \tfrac{35}{100} = \tfrac{7}{20}\) (gekürzt mit 5)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Cem: \(1 - 0{,}375 - 0{,}35 = 0{,}275 = \tfrac{275}{1000} = \tfrac{11}{40}\)
Stimmen: Anna \(0{,}375 \cdot 40 = 15\), Ben \(0{,}35 \cdot 40 = 14\), Cem \(0{,}275 \cdot 40 = 11\).
Kontrolle: \(15 + 14 + 11 = 40\) ✓
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bens Aussage ist falsch: \(\tfrac{3}{8} = 0{,}375 > 0{,}35\). Anna hat mit 15 zu 14 Stimmen gewonnen.
Fehler: Ben vergleicht einzelne Ziffern verschiedener Schreibweisen. Die 3 und die 8 eines Bruchs sind keine Größe für sich, erst der Quotient \(3 : 8\) ist die Zahl.
Zuverlässig vergleicht man, indem man beide Zahlen in dieselbe Schreibweise bringt: beide als Dezimalzahl (0,375 und 0,350) oder beide als Bruch mit gleichem Nenner (\(\tfrac{15}{40}\) und \(\tfrac{14}{40}\)).