Zurück zur ErklärungProportionale Funktionen — GraphApplets, Beispiele und Merksätze noch einmal nachlesen.
Weiter im KapitelZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel, Selbsttest, Lernkarten und die Probeklausur.
Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
4
Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix
A1
Stimmt das über proportionale Funktionen?
AFB ISechs Aussagen. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
A2
Was ist proportional?
AFB IWelche Zuordnungen sind proportional? Es sind mehrere richtig.
Die drei falschen Fälle scheitern aus verschiedenen Gründen: Grundgebühr, krummes Wachstum und quadratisches Wachstum. Gemeinsam ist ihnen, dass y : x nicht konstant bleibt.
A3
Die Fachbegriffe einsetzen
AFB IKlicke erst ein Wort in der Bank, dann die passende Lücke im Text. Mit Tab und Enter geht es genauso.
Eine Zuordnung heißt , wenn der y : x für alle Wertepaare dieselbe Zahl ergibt. Diese Zahl nennt man m. Der Graph ist dann eine , denn er verläuft durch den . Aus Klasse 7 kennst du das Rechenverfahren dazu als .
Merksatz: gleicher Quotient → fester Faktor → Gerade durch (0 | 0).
A4
Den Faktor bestimmen
AFB IEine proportionale Funktion enthält das Wertepaar (4 | 18). Wie groß ist der Proportionalitätsfaktor m?
m = y : x = 18 : 4 = 4,5. Immer y durch x teilen — nie umgekehrt.
A5
Aus der Wertetabelle ablesen
AFB IDie Tabelle gehört zu einer proportionalen Funktion. Bestimme die gesuchten Werte.
Ansatz: Teile in einer beliebigen Spalte den y-Wert durch den x-Wert.Warum hilft das? Bei Proportionalität liefert jede Spalte denselben Quotienten.
Bei c) rückwärts: Aus y = m · x wird x = y : m. Teile also 30 durch m.Multiplizieren und Dividieren sind Gegenrechnungen — das gilt hier genau wie beim Dreisatz.
Lösung: a) 6 : 2 = 3 · b) 3 · 7 = 21 · c) 30 : 3 = 10
Wertetabelle einer proportionalen Funktion
A6
Begriffe und Erklärungen paaren
AFB IDecke immer zwei Karten auf, die zusammengehören.
Die Karte „m“ und die Karte „y : x“ beschreiben dieselbe Zahl — einmal als Faktor, einmal als Quotient.
A7
In die richtige Schublade
AFB ISortiere jede Zuordnung in den passenden Korb.
1sicher proportional
2sicher nicht proportional
3kommt auf die Bedingungen an
Beim Lohn entscheidet der Vertrag: Stundenlohn ja, Grundgehalt plus Zuschlag nein. Beim Becken entscheidet die Form: Bei einem Quader ja, bei einer Badewanne mit schrägem Boden nein.
A8
Im Schema anklicken
AFB IKlicke den gesuchten Begriff im Schema an.
Faktor und Quotient sind dieselbe Zahl aus zwei Blickwinkeln: m ist das, womit du multiplizierst, y : x ist das, was du zur Kontrolle ausrechnest.
A9
Die Reihenfolge stimmt noch nicht
AFB ISo prüfst du eine Zuordnung auf Proportionalität. Bring die Schritte in die richtige Reihenfolge.
1
Alle bekannten Wertepaare in eine Wertetabelle schreiben.
2
In jeder Spalte den Quotienten y : x berechnen.
3
Prüfen, ob alle Quotienten dieselbe Zahl ergeben.
4
Diese Zahl als Proportionalitätsfaktor m notieren.
5
Die Funktionsgleichung y = m · x aufschreiben.
6
Zur Kontrolle (0 | 0) und einen zweiten Punkt einzeichnen.
Schritt 6 ist die Probe: Liegt der zweite Punkt nicht auf der Geraden durch den Ursprung, hast du dich beim Quotienten verrechnet.
A10
Rechenkette an der Zapfsäule
AFB II12 Liter Diesel kosten 20,40 €. Rechne Schritt für Schritt — jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
- Was kostet 1 Liter? €
- Was kosten 30 Liter? €
- Wie viele Liter bekommt man für 34,00 €? l
- Was kosten 4,5 Liter? €
Schritt 1 liefert den Proportionalitätsfaktor m = 1,70 € je Liter. Danach ist alles nur noch mal m (vorwärts) oder geteilt durch m (rückwärts).
A11
Kreuztabelle: welcher Faktor passt?
AFB IIJedes Wertepaar gehört zu genau einer proportionalen Funktion. Setze in jeder Zeile ein Kreuz.
| Wertepaar | m = 2 | m = 4 | m = 6 |
|---|---|---|---|
| (3 | 12) | |||
| (5 | 10) | |||
| (2 | 12) | |||
| (7 | 28) | |||
| (9 | 18) | |||
| (4 | 24) |
Immer y durch x teilen. Wer stattdessen die Differenz y − x bildet, landet bei (3 | 12) auf 9 — und findet gar keine passende Spalte.
A12
Am Graphen ablesen
AFB IIDer Graph gehört zu einer proportionalen Funktion. Lies die gesuchten Größen ab.
Ansatz: Suche einen Gitterpunkt, den die Gerade genau trifft — zum Beispiel bei x = 4. Teile dort y durch x.Warum hilft das? An jedem Punkt der Ursprungsgeraden ergibt y : x denselben Faktor m.
Ablesen: Gehe von der x-Achse senkrecht nach oben bis zur Geraden und dann waagerecht zur y-Achse.Diese zwei Bewegungen sind die Standardtechnik beim Ablesen.
Lösung: a) 6 : 4 = 1,5 · b) 1,5 · 6 = 9 · c) 12 : 1,5 = 8
Die Gerade trifft die Gitterpunkte (4 | 6) und (8 | 12)
A13
Wertepaar und Gleichung verbinden
AFB IIVerbinde jedes Wertepaar mit der passenden Funktionsgleichung.
Bei (5 | 4) ist der Faktor kleiner als 1 — die Gerade steigt flacher als die Winkelhalbierende, ist aber trotzdem proportional.
A14
y = m · x oder y = m · x + b?
AFB IIOrdne jede Aussage dem passenden Bereich zu. Rechts geht es um Geraden mit einem festen Sockelbetrag b ≠ 0.
1 nur bei y = m · x
2 bei beiden
3 nur bei y = m · x + b
Die Mitte ist groß: Beide sind Funktionen mit geradem Graphen. Der Unterschied steckt allein im Punkt (0 | 0) und im Quotienten.
A15
Fehlersuche im Merkheft
AFB IIAus dem Merkheft einer Mitschülerin. Klicke genau die falschen Zeilen an.
Drei Fehler, drei richtige Zeilen. Die Verwechslung von „Steilheit“ und „Schnittpunkt mit der y-Achse“ ist der Klassiker — sie führt später auch bei y = mx + b zu Fehlern.
A16
Ablauf durchspielen
AFB IIJonas prüft die Preisliste eines Copyshops. Entscheide bei jedem Schritt, wie es weitergeht.
Der ganze Weg: Quotienten bilden → vergleichen → Faktor notieren → Gleichung aufstellen. Eine Grundgebühr hebt die Gerade an und macht den Quotienten variabel.
A17
Rückwärts rechnen
AFB IIFür eine proportionale Funktion gilt y = 0,8 · x. Für welches x ist y = 30?
x = y : m = 30 : 0,8 = 37,5. Weil m kleiner als 1 ist, muss x größer als y sein.
A18
Den Bauplan zusammensetzen
AFB IISo sieht eine vollständige Lösung aus. Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen.
Die beiden Fallen sind Klassiker: der auf den Kopf gestellte Quotient und ein Plus statt des Malzeichens.
A19
Ist das wirklich proportional?
AFB IIDiese Tabelle sieht auf den ersten Blick harmlos aus. Prüfe sie mit dem Quotiententest.
Ansatz: Rechne beide Quotienten getrennt aus und vergleiche sie erst danach.Warum hilft das? Schon eine einzige Abweichung widerlegt die Proportionalität.
Bei c): Nimm den Quotienten aus der ersten Spalte als m an und rechne y = m · 4.Die erste Spalte legt den Faktor fest — alle anderen müssten sich danach richten.
Lösung: a) 8 : 2 = 4 · b) 12 : 4 = 3 · c) 4 · 4 = 16
Welche Gleichung beschreibt die Tabelle tatsächlich?
Von Spalte zu Spalte wächst x um 2 und y um 4. Bei x = 0 wäre y = 4. Es gilt also y = 2x + 4 — eine Gerade mit dem Sockelbetrag 4, keine Ursprungsgerade.
Wertetabelle einer Zuordnung
A20
Entscheidungsbaum: proportional oder nicht?
AFB IIArbeite dich durch den Baum und schau, wo du herauskommst.
Beachte den letzten Knoten: Gleiche Quotienten und Ursprungsgerade sind zwei Formulierungen derselben Bedingung — der Baum prüft sie nur mit unterschiedlichen Werkzeugen.
A21
Auf das Wievielfache wächst y?
AFB IIGegeben ist y = 4 · x. Auf das Wievielfache wächst y, wenn x wie angegeben verändert wird?
1 = bleibt gleich5 = fünffach
x wird verdoppelt.
x wird verdreifacht.
x bleibt unverändert.
x wird mit 5 multipliziert.
x wird vervierfacht.
Der Faktor 4 spielt dabei überhaupt keine Rolle: Bei jeder proportionalen Funktion überträgt sich die Vervielfachung von x eins zu eins auf y.
A22
Kacheln bis zum Ziel
AFB II1 kg Kirschen kostet 4,00 €. Wähle Einkaufsmengen so aus, dass der Gesamtpreis genau das Ziel trifft.
0 €
Ziel: 60 €
Ein möglicher Weg: 1 kg + 2 kg + 4 kg + 8 kg = 15 kg, also 4 · 15 = 60 €. Weil alle Preise Vielfache von 4 sind, muss auch das Ziel ein Vielfaches von 4 sein.
A23
Währung umrechnen
AFB IIBeim Geldwechsel bekommt man für 15 britische Pfund genau 18,00 €. Der Kurs gilt für jeden Betrag.
€
€
Ansatz: Rechne zuerst auf ein einziges Pfund herunter: 18 : 15.Warum hilft das? Das ist der Proportionalitätsfaktor m in Euro pro Pfund.
Bei c) rückwärts: Jetzt geht es von Euro zu Pfund — also durch m teilen statt mit m malnehmen.Hin und zurück sind Gegenrechnungen; deshalb dreht sich auch die Einheit von m um.
Lösung: a) 18 : 15 = 1,20 · b) 1,20 · 40 = 48 · c) 30 : 1,20 = 25
Warum ist Geldwechsel ohne Gebühr immer proportional?
Weil es keinen Sockelbetrag gibt: Null Pfund sind null Euro. Der Kurs ist genau der Proportionalitätsfaktor, und die Zuordnung Pfund ↦ Euro ist deshalb eine Ursprungsgerade. Nimmt die Wechselstube eine feste Gebühr, ist es sofort vorbei damit.
Wertetabelle zur Währungsumrechnung
A24
Schätzen und begründen
AFB IIIA25
Aussagen prüfen — für Fortgeschrittene
AFB IIIDiese Aussagen sind kniffliger. Entscheide sorgfältig.
A26
Ein Gegenbeispiel bauen
AFB IIINele behauptet: „Wenn eine Wertetabelle mit dem Paar (0 | 0) beginnt, ist die Zuordnung proportional.“ Denk in Ruhe nach und beantworte beide Fragen selbst, bevor du die Lösungen aufklappst.
a) Hat Nele recht? Begründe deine Antwort.
Nein. Der Punkt (0 | 0) ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Die Zuordnung Seitenlänge ↦ Flächeninhalt eines Quadrats liefert die Paare (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4), (3 | 9). Sie beginnt im Ursprung, aber die Quotienten sind 1, 2 und 3 — nicht konstant. Der Graph ist eine gebogene Kurve, keine Gerade.
b) Konstruiere eine Zuordnung mit vier Wertepaaren, die durch den Ursprung geht und trotzdem nicht proportional ist.
Zum Beispiel (0 | 0), (1 | 5), (2 | 7), (4 | 8). Die Quotienten sind 5, 3,5 und 2 — also verschieden. Das Rezept ist einfach: Starte im Ursprung und wähle danach irgendwelche y-Werte, die nicht im gleichen Takt mitwachsen.
A27
Welche Aussagen gelten immer?
AFB IIIKreuze alle Aussagen an, die für jede proportionale Funktion gelten.
Die drei falschen Aussagen unterstellen alle, dass m positiv sein muss oder dass ein Sockelbetrag dazugehört. Bei m < 0 fällt die Gerade, und ein Summand ohne x würde die Proportionalität gerade zerstören.
A28
Zwei Geraden vergleichen
AFB IIIIm Koordinatensystem sind zwei Geraden gezeichnet: grün die Funktion y = 2 · x, rot die Funktion y = x + 3. Untersuche beide.
Ansatz: Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der beide Geraden denselben y-Wert haben. Lies ihn im Bild ab oder setze 2x = x + 3.Warum hilft das? Gleichsetzen ist genau die Rechenversion des Ablesens.
Bei b): Lies zuerst den y-Wert der roten Geraden bei x = 1 ab — es ist 4. Teile ihn dann durch 1.Rechne den Quotienten für ein zweites x nach: Bei x = 3 ist er 2. Verschiedene Werte heißt: nicht proportional.
Lösung: a) x = 3 (beide Geraden bei y = 6) · b) 4 : 1 = 4 · c) nur eine, nämlich die grüne
Beide Geraden schneiden sich. Warum macht dieser gemeinsame Punkt die rote Gerade nicht proportional?
Weil Proportionalität für alle Wertepaare gelten muss, nicht nur für eines. Im Schnittpunkt (3 | 6) stimmt der Quotient zufällig überein (beide 2). Schon bei x = 1 liefert die rote Gerade aber 4 statt 2 — und bei x = 0 den Wert 3 statt 0. Ein einzelner passender Punkt beweist gar nichts.
Schnittpunkt violett markiert
A29
Gemischte Kette — auch mit Flächen
MixHier mischen sich proportionale Funktionen mit dem Flächeninhalt und dem Funktionsbegriff aus den vorherigen Kapiteln. Ein Rechteck hat die feste Breite 4 cm, die Länge x ist veränderlich.
- Wie groß ist der Flächeninhalt bei x = 5 cm? cm²
- Die Funktion f ordnet der Länge den Flächeninhalt zu: f(x) = 4x. Berechne f(9). cm²
- Für welche Länge gilt f(x) = 30? cm
- Wie groß ist der Quotient f(x) : x?
Der Quotient ist immer 4 — unabhängig von x. Deshalb ist die Zuordnung Länge ↦ Flächeninhalt bei fester Breite proportional, und der Proportionalitätsfaktor ist genau diese Breite.
A30
Trickaufgabe: der Mengenrabatt
MixEin Marktstand verkauft Erdbeeren für 6,00 € je Kilogramm. Ab 3 kg gibt es 10 % Rabatt — und zwar auf die gesamte Menge. Ein Schild verspricht: „Je mehr Sie kaufen, desto mehr zahlen Sie — ganz fair und proportional.“
a) Ist die Zuordnung Menge ↦ Preis proportional? Rechne mit 2 kg und 4 kg nach.
Nein. Für 2 kg zahlt man 12,00 €, also ist y : x = 6. Für 4 kg zahlt man 4 · 6 · 0,9 = 21,60 €, also y : x = 5,40. Zwei verschiedene Quotienten — die Quotientengleichheit ist verletzt. Interessant ist aber: Unterhalb von 3 kg ist es proportional mit m = 6, und ab 3 kg ist es wieder proportional, nur mit m = 5,40. Man sagt dazu abschnittsweise proportional.
b) Wie sieht der Graph aus — und wo steckt der Haken für den Kunden?
Der Graph besteht aus zwei Stücken von Ursprungsgeraden: bis 3 kg das steilere Stück mit m = 6, danach das flachere mit m = 5,40. An der Stelle 3 kg springt der Preis nach unten. Der Haken: 2,9 kg kosten 17,40 €, 3 kg aber nur 16,20 €. Wer knapp unter der Rabattgrenze einkauft, zahlt mehr für weniger Ware — und der Satz auf dem Schild ist gleich doppelt falsch.