Neles Ferienjob in der Gärtnerei
AFB IIIn den Sommerferien hilft Nele in einer Gärtnerei aus. Bezahlt wird nach Arbeitsstunden. Nach vier Einsätzen hat sie sich notiert, wie lange sie jeweils gearbeitet und wie viel Geld sie dafür bekommen hat. Die Werte stehen in Material M1; darunter sind sie in ein Koordinatensystem eingetragen.
Nele möchte sich ein gebrauchtes Fahrrad für 133,00 € kaufen und wissen, wie lange sie dafür arbeiten muss.
| Arbeitszeit \(x\) in h | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Verdienst \(y\) in € | 19,00 | 38,00 | 57,00 | 76,00 |
Die grünen Punkte sind die vier Werte aus der Tabelle. Die Gerade beginnt genau im Ursprung (0 | 0).
- Berechne für jede Spalte der Tabelle den Quotienten aus Verdienst und Arbeitszeit und zeige damit, dass die Zuordnung proportional ist.
- Gib den Proportionalitätsfaktor \(m\) mit Einheit an, deute ihn im Sachzusammenhang und stelle die Funktionsgleichung auf.
- Berechne, wie lange Nele für das Fahrrad arbeiten muss, und erkläre, warum ihr Graph durch den Punkt \((0\,|\,0)\) verlaufen muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(19{,}00\ \text{€} : 2\ \text{h} = 9{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
\(38{,}00\ \text{€} : 4\ \text{h} = 9{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
\(57{,}00\ \text{€} : 6\ \text{h} = 9{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
\(76{,}00\ \text{€} : 8\ \text{h} = 9{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
In allen vier Spalten kommt derselbe Quotient heraus. Es liegt also Quotientengleichheit vor.
Die Zuordnung Arbeitszeit \(\mapsto\) Verdienst ist proportional: Je Arbeitsstunde bekommt Nele immer 9,50 €.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m = 9{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
Bedeutung: \(m\) ist der Verdienst für eine Arbeitsstunde, also Neles Stundenlohn. Man erhält ihn auch, indem man \(x = 1\) in die Gleichung einsetzt.
\(y = 9{,}50\cdot x\) (\(y\) in €, \(x\) in h)
Nele verdient 9,50 € pro Arbeitsstunde; ihr Verdienst lässt sich mit \(y = 9{,}50\cdot x\) berechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bedingung \(y = 133\):
\(133 = 9{,}50\cdot x \;\Rightarrow\; x = 133 : 9{,}50 = 14\)
Kontrolle am Graphen: Bei 14 h liegt die Gerade zwischen den Marken 120 € und 140 €, dicht über 130 € — das passt.
Zu \(x = 0\) gehört \(y = 9{,}50\cdot 0 = 0\): Wer null Stunden arbeitet, verdient null Euro. Deshalb enthält der Graph das Wertepaar \((0\,|\,0)\) und ist eine Ursprungsgerade.
Nele muss 14 Stunden arbeiten, um die 133,00 € für das Fahrrad zu verdienen.
Der Fahrradverleih am Badesee
AFB IIIAm Badesee kann man Fahrräder ausleihen. Der Verleih rechnet nach einer festen Preisliste, die auch für längere Mietzeiten nach demselben Muster weitergeführt wird. Preisliste und Graph findest du in Material M2.
Marek hat sich für zwei Stunden ein Rad geliehen und sagt: „Für 2 Stunden habe ich 9,00 € bezahlt. Nächste Woche nehme ich das Rad 8 Stunden, also viermal so lange. Dann zahle ich auch viermal so viel, nämlich 36,00 €.“
| Mietdauer \(x\) in h | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Preis \(y\) in € | 6,50 | 9,00 | 11,50 | 14,00 | 16,50 |
Der Punkt P zeigt, wo die Gerade die senkrechte Achse trifft — schau genau hin, ob das der Ursprung ist.
- Berechne für die Mietdauern 1 h, 2 h und 4 h jeweils den Quotienten aus Preis und Mietdauer und vergleiche die drei Werte.
- Lies am Graphen ab, welchen Preis die Gerade bei einer Mietdauer von 0 h angibt, und begründe damit, dass der Zusammenhang nicht proportional ist.
- Beurteile Mareks Aussage. Berechne dazu den tatsächlichen Preis für 8 Stunden und erkläre, worin sein Denkfehler besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(6{,}50\ \text{€} : 1\ \text{h} = 6{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
\(9{,}00\ \text{€} : 2\ \text{h} = 4{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
\(14{,}00\ \text{€} : 4\ \text{h} = 3{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{h}}\)
Die drei Quotienten sind verschieden und werden mit wachsender Mietdauer immer kleiner.
Beim Fahrradverleih ist der Quotient aus Preis und Mietdauer nicht konstant — es gibt keine Quotientengleichheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Punkt \(P\) liegt auf der senkrechten Achse bei \(y = 4{,}00\ \text{€}\); der Graph schneidet die Achse also bei 4,00 € und nicht im Ursprung.
Der Graph einer proportionalen Funktion ist stets eine Gerade durch \((0\,|\,0)\), denn zu \(x = 0\) gehört \(y = m\cdot 0 = 0\). Hier gehört zu \(x = 0\) aber \(y = 4{,}00\).
Wer das Rad null Stunden fährt, zahlt trotzdem 4,00 € Grundgebühr. Der Zusammenhang zwischen Mietdauer und Preis ist deshalb nicht proportional, obwohl der Graph eine Gerade ist.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Von Zeile zu Zeile wächst der Preis immer um denselben Betrag: \(9{,}00 - 6{,}50 = 2{,}50\), \(11{,}50 - 9{,}00 = 2{,}50\), und so weiter. Jede weitere Stunde kostet also 2,50 €.
Fortsetzung ab 5 h: \(16{,}50 + 2{,}50 = 19{,}00\) (6 h), \(19{,}00 + 2{,}50 = 21{,}50\) (7 h), \(21{,}50 + 2{,}50 = 24{,}00\) (8 h).
Rechnung mit der Grundgebühr: \(4{,}00\ \text{€} + 8 \cdot 2{,}50\ \text{€} = 4{,}00\ \text{€} + 20{,}00\ \text{€} = 24{,}00\ \text{€}\)
Mareks Aussage ist falsch. Sein Denkfehler: Er wendet die Vervielfachungseigenschaft an — viermal so lange, also viermal so teuer. Die gilt aber nur bei proportionalen Zusammenhängen, und nach a) und b) ist der Preis nicht proportional zur Mietdauer. Konkret zahlt er in seiner Rechnung die Grundgebühr von 4,00 € viermal, obwohl sie bei einer Ausleihe nur ein einziges Mal anfällt: \(4 \cdot 9{,}00 = 36{,}00\) enthält \(4 \cdot 4{,}00 = 16{,}00\) statt nur 4,00 €.
Für 8 Stunden zahlt Marek 24,00 € und damit 12,00 € weniger, als er erwartet hat.