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Übungen — Geraden durch zwei Punkte

30 Aufgaben mit gestuften Hilfen: Differenzen bilden, die Steigung aus zwei Punkten berechnen, b durch Einsetzen bestimmen.

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Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix

A1
Stimmt das über zwei Punkte?
AFB I
Sechs Aussagen zum Weg von zwei Punkten zur Geradengleichung. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
Aussage 1 von 6

A2
Was gilt für die Gerade durch P₁(1 | 2) und P₂(3 | 8)?
AFB I
Welche Aussagen über die Gerade durch P₁(1 | 2) und P₂(3 | 8) stimmen? Es sind mehrere richtig.
Δy = 8 − 2 = 6 und Δx = 3 − 1 = 2, also m = 3. Einsetzen von P₁: 2 = 3 · 1 + b, also b = −1 und y = 3x − 1.
A3
Die Fachbegriffe einsetzen
AFB I
Klicke erst ein Wort in der Bank, dann die passende Lücke im Text. Mit Tab und Enter geht es genauso.

Die kleine tiefgestellte Zahl an x₁ und x₂ heißt . Einen Unterschied zweier Werte kürzt man mit dem Zeichen ab. Die teilt Δy durch Δx; weil dabei zwei Differenzen durcheinander geteilt werden, heißt dieser Ausdruck auch . Steht die Gleichung, kontrolliert man sie mit dem zweiten Punkt — das ist die . Das ganze Verfahren trägt den Namen .

Sechs Begriffe, sechs Lücken — jedes Wort wird genau einmal gebraucht.
A4
Die Höhendifferenz berechnen
AFB I
Berechne Δy für P₁(−3 | 4) und P₂(5 | −2). Gib nur die Zahl ein.
Δy = y₂ − y₁ = −2 − 4 = −6. Das Minus zeigt an: Der zweite Punkt liegt tiefer.
A5
Die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge
AFB I
Bringe die Schritte in die Reihenfolge, in der man sie abarbeitet. Mit den Pfeilknöpfen oder Tab und den Pfeiltasten geht es auch.
1 Die beiden Punkte benennen: einer wird P₁, der andere P₂
2 Δy = y₂ − y₁ berechnen
3 Δx = x₂ − x₁ berechnen
4 m = Δy : Δx ausrechnen
5 Einen Punkt in y = m · x + b einsetzen und nach b auflösen
6 Mit dem zweiten Punkt die Punktprobe machen
Ohne m gibt es kein b — deshalb kommen die Differenzen immer zuerst.
A6
Steigt, fällt oder waagerecht?
AFB I
Sortiere die sechs Punktepaare danach, wie die Gerade durch sie verläuft. Erst eine Karte anklicken, dann den Korb — mit den Zifferntasten geht es auch.
1steigt (m > 0)
2fällt (m < 0)
3waagerecht (m = 0)
Vergleiche einfach die beiden y-Werte: größer, kleiner oder gleich.
A7
Punktepaar und Steigung als Paar
AFB I
Finde die Paare: Jedes Punktepaar gehört zu genau einer Steigung. Zwei Karten anklicken — passen sie, bleiben sie offen.
Rechne jeweils Δy : Δx im Kopf — die Zahlen sind klein gewählt.
A8
Die Bausteine der Formel anklicken
AFB I
Fünf Fragen zum Aufbau der Rechnung. Klicke jeweils das passende Feld an; mit Tab und Enter geht es genauso.

y₂ − y₁ x₂ − x₁ m b P₁ P₂ Δ
Oben der Zähler, unten der Nenner: m = Δy : Δx. b folgt erst danach durch Einsetzen.
A9
Am Graphen ablesen
AFB I

Im Bild sind zwei Punkte einer Geraden markiert. Lies die gefragten Größen direkt ab beziehungsweise zähle sie im Gitter ab.

Erst zählen: Geh von P₁ aus so weit nach rechts, bis du unter P₂ stehst — das ist Δx. Dann so weit nach oben bis P₂ — das ist Δy.Warum hilft das? Die beiden Zahlen sind genau die Seiten des Steigungsdreiecks.
b ablesen: Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert dort, wo die Gerade die senkrechte Achse kreuzt.Er gehört zur Stelle x = 0.
Lösung: Δy = 4, Δx = 4, also m = 1. Die Gerade schneidet die y-Achse bei 1, also lautet die Gleichung y = x + 1.
xy−4−3−2−112345−4−3−2−112345ΔxΔyP₁P₂
P₁ rot, P₂ violett, der y-Achsenabschnitt gelb
A10
Welche Steigung liegt vor?
AFB II
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Achte besonders auf die Zeile, in der beide Punkte senkrecht übereinanderliegen.
Punktepaarm > 0m = 0m < 0nicht berechenbar
P₁(1 | 2), P₂(5 | 6)
P₁(0 | 3), P₂(4 | 3)
P₁(−2 | 5), P₂(1 | −1)
P₁(3 | −4), P₂(3 | 6)
P₁(−5 | −2), P₂(0 | 3)
P₁(2 | 7), P₂(6 | 1)
Vergleiche zuerst die x-Werte: Sind sie gleich, ist Δx = 0 und nichts mehr zu rechnen.
A11
Die ganze Rechnung Schritt für Schritt
AFB II
Die Gerade geht durch P₁(2 | −1) und P₂(6 | 7). Arbeite dich von oben nach unten durch; jede Zeile wird erst freigeschaltet, wenn die vorige stimmt.
  1. Δy = y₂ − y₁ = 7 − (−1)
  2. Δx = x₂ − x₁ = 6 − 2
  3. m = Δy : Δx
  4. b = y₁ − m · x₁ = −1 − 2 · 2
  5. Punktprobe mit P₂: 2 · 6 − 5
Die fertige Gleichung lautet y = 2x − 5, und die Probe bestätigt sie. Bitte den Punkt als Dezimaltrennzeichen verwenden.
A12
Steigung mit negativen Koordinaten
AFB II
Berechne die Steigung der Geraden durch P₁(−4 | 5) und P₂(2 | −4). Gib nur die Zahl ein — Komma oder Punkt sind beide erlaubt.
Δy = −4 − 5 = −9 und Δx = 2 − (−4) = 6, also m = −9 : 6 = −1,5.
A13
Punktepaar und Gleichung verbinden
AFB II
Verbinde jedes Punktepaar mit der Gleichung der Geraden, die durch beide Punkte geht. Erst links, dann rechts anklicken.
Drei Gleichungen haben b = 1 — hier entscheidet allein die Steigung.
A14
Den Lösungsweg zusammenbauen
AFB II
Zieh die fünf Bausteine in die richtige Reihenfolge. Zwei Stücke passen überhaupt nicht in dieses Verfahren.
Der zweite Störbaustein gehört zur Nullstelle — hier wird er nicht gebraucht.
A15
Zwei Fehler in Lenas Rechnung
AFB II
Lena bestimmt die Gerade durch P₁(2 | 1) und P₂(6 | 9). Genau zwei Zeilen sind falsch — markiere sie.
Zeile 6 ist nur die Folge von Zeile 5 und deshalb nicht selbst falsch. Richtig ist y = 2x − 3.
A16
Der Weg durch das Verfahren
AFB II
Vier Entscheidungen für die Gerade durch P₁(1 | 3) und P₂(5 | 11). Wähle jeweils den nächsten sinnvollen Schritt.
    Immer dieselbe Kette: Differenzen, Steigung, Einsetzen, Probe.
    A17
    Wofür brauchst du was?
    AFB II
    Ordne jede Zutat dem Rechenschritt zu, in dem sie zum ersten Mal gebraucht wird. Erst eine Karte anklicken, dann den Bereich.
    1 Schritt 1: m berechnen
    2 Schritt 2: b berechnen
    3 Schritt 3: Punktprobe
    P₁ und P₂ tauchen an verschiedenen Stellen auf — genau das macht die Probe kostenlos.
    A18
    Wie steil ist die Gerade?
    AFB II
    Schätze bei jedem Punktepaar, wie steil die Verbindungsgerade ist. Stufe 1 bedeutet sehr flach, Stufe 5 sehr steil.
    sehr flachsehr steil
    P₁(0 | 0), P₂(10 | 1)
    P₁(0 | 0), P₂(4 | 2)
    P₁(0 | 0), P₂(2 | 2)
    P₁(0 | 0), P₂(2 | 6)
    P₁(0 | 0), P₂(1 | 8)
    Rechne jeweils m = Δy : Δx: 0,1 — 0,5 — 1 — 3 — 8. Bei m = 1 steigt die Gerade genau im 45-Grad-Winkel.
    A19
    Den Fahrpreis zusammenstellen
    AFB II
    Ein Taxi verlangt 4 € Grundpreis und 2 € je Kilometer. Aus zwei Quittungen wurde die Formel y = 2x + 4 bestimmt. Wähle die Kacheln so, dass genau der Preis einer 6-km-Fahrt entsteht.
    0 €
    Ziel: 16 €
    Der Grundpreis ist immer dabei, auch bei 0 km. Dazu kommen 6 · 2 € — also Grundpreis plus die 6-km-Kachel.
    A20
    Die Steigung schätzen
    AFB II
    Eine Gerade geht durch P₁(1 | 2) und P₂(6 | 9,5). Stelle den Regler auf die passende Steigung.
    0 3
    Δy = 7,5 und Δx = 5, also m = 7,5 : 5 = 1,5.
    A21
    Welcher Fall liegt vor?
    AFB II
    Gegeben sind P₁(−1 | 6) und P₂(3 | −2). Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein, bis du beim richtigen Fall ankommst.
      x₁ = −1 und x₂ = 3 sind verschieden, y₁ = 6 und y₂ = −2 ebenfalls — und y wird kleiner.
      A22
      Die Kerze brennt herunter
      AFB II

      Eine Kerze wird angezündet und gleichmäßig kürzer. Nach 10 Minuten ist sie noch 18 cm lang, nach 40 Minuten noch 12 cm. Bestimme die Formel und beantworte die Fragen.

      cm/min
      cm
      cm
      min
      Messwerte als Punkte: Schreib die beiden Messungen als Punkte auf: P₁(10 | 18) und P₂(40 | 12). Dann ist es die gewohnte Aufgabe.Warum hilft das? Die Zeit ist das x, die Länge das y.
      Differenzen bilden: Δy = 12 − 18 = −6 und Δx = 40 − 10 = 30. Teile beides.Das Minus bedeutet: Die Kerze wird kürzer.
      Lösung: m = −6 : 30 = −0,2. Einsetzen von P₁: 18 = −0,2 · 10 + b, also b = 20. Die Formel lautet y = −0,2x + 20. Bei x = 60 sind das 8 cm, und y = 0 ergibt x = 100.
      1. MessungZeit: 10 minLänge: 18 cm2. MessungZeit: 40 minLänge: 12 cmDifferenzen bilden → m ausrechnen
      Zwei Messungen genügen für die ganze Formel
      A23
      Die Wertetabelle vervollständigen
      AFB II

      Zu einer linearen Funktion sind zwei Werte bekannt: bei x = 1 ist y = 8, bei x = 4 ist y = −1. Bestimme zuerst die Gleichung und fülle dann die Lücken der Tabelle.

      Erst die Gleichung: Die beiden bekannten Spalten sind zwei Punkte: P₁(1 | 8) und P₂(4 | −1).Warum hilft das? Aus zwei Punkten bekommst du m und b.
      Differenzen: Δy = −1 − 8 = −9, Δx = 4 − 1 = 3.Der Quotient ist die gesuchte Steigung.
      Lösung: m = −9 : 3 = −3, dann 8 = −3 · 1 + b, also b = 11. Die Funktion lautet y = −3x + 11; damit ist y(2) = 5 und y(3) = 2.
      x01234y?8??−1Nur zwei Werte sind bekannt — der Rest folgt aus der Gleichung.
      Die Fragezeichen füllst du selbst
      A24
      Den fehlenden x-Wert bestimmen
      AFB III
      Der Punkt Q(k | 11) liegt auf der Geraden durch P₁(1 | 1) und P₂(4 | 7). Wie groß ist k?
      Erst die Gleichung: m = 6 : 3 = 2 und b = 1 − 2 = −1, also y = 2x − 1. Dann 11 = 2k − 1 nach k auflösen: k = 6.
      A25
      Was gilt immer?
      AFB III
      Welche Aussagen gelten für alle Punktepaare, nicht nur für bestimmte Beispiele? Es sind mehrere richtig.
      Beide Punkte auf der y-Achse heißt x₁ = x₂ = 0, also Δx = 0. Und liegt ein Punkt bei x = 0, so ist sein y-Wert genau b.
      A26
      Der Schnittpunkt zweier Geraden
      AFB III
      Die Gerade g geht durch A(0 | 1) und B(4 | 9), die Gerade h durch C(0 | 10) und D(3 | 4). Bestimme ihren Schnittpunkt.
      1. Steigung von g: Δy : Δx = 8 : 4
      2. y-Achsenabschnitt von g (A liegt auf der y-Achse)
      3. Steigung von h: Δy : Δx = −6 : 3
      4. y-Achsenabschnitt von h
      5. x des Schnittpunkts aus 2x + 1 = −2x + 10
      6. y des Schnittpunkts: 2 · 2,25 + 1
      Der Schnittpunkt ist S(2,25 | 5,5). Bitte den Punkt als Dezimaltrennzeichen verwenden: 2.25 statt 2,25.
      A27
      Liegen alle drei Punkte auf einer Geraden?
      AFB III

      Gegeben sind A(−2 | −5), B(1 | 1) und C(4 | 7). Untersuche rechnerisch, ob alle drei auf einer Geraden liegen — ob sie also, wie man sagt, kollinear sind.

      Zwei Punkte genügen: Bestimme zuerst die Gerade durch A und B. Der dritte Punkt wird anschließend nur noch geprüft.Warum hilft das? Zwei Punkte legen die Gerade eindeutig fest — C hat da nichts mehr mitzureden.
      Punktprobe für C: Setz x = 4 in die gefundene Gleichung ein und vergleiche mit dem y von C.Kommt 7 heraus, liegt C auf der Geraden.
      Lösung: Aus A und B: Δy = 6, Δx = 3, also m = 2 und b = 1 − 2 = −1. Bei x = 4 liefert y = 2x − 1 den Wert 7 — genau das y von C. Auch aus B und C ergibt sich m = 6 : 3 = 2. Die drei Punkte sind kollinear.
      xy−4−3−2−1123456−6−4−22468y = 2x − 1ABC
      Alle drei Punkte liegen auf derselben Linie
      A28
      Begründen und widerlegen
      AFB III

      Drei Behauptungen über Geraden durch zwei Punkte. Begründe jeweils selbst, bevor du aufklappst.

      a) Warum genügt ein einziger Punkt, um b zu bestimmen?
      Weil m schon feststeht. Mit festem m ist die Richtung der Geraden festgelegt; sie kann sich nur noch als Ganzes nach oben oder unten verschieben. Diese eine verbleibende Freiheit wird durch einen einzigen Punkt aufgebraucht. Formal: In y = m · x + b ist nach dem Einsetzen von x und y nur noch b unbekannt — eine Gleichung mit einer Unbekannten hat hier genau eine Lösung.
      b) Zwei Punkte haben denselben y-Wert, aber verschiedene x-Werte. Was folgt daraus für m und b?
      Δy = 0, also m = 0 : Δx = 0. Setzt man einen Punkt ein, bleibt y₁ = 0 · x₁ + b, also b = y₁. Die Gleichung lautet schlicht y = y₁: eine konstante Funktion. Wichtig ist der Unterschied zum verbotenen Fall — hier wird null geteilt, nicht durch null.
      c) Kann eine Gerade durch A(2 | 3) und B(2 | 7) eine lineare Funktion sein?
      Nein. Beide Punkte haben x = 2, also Δx = 0 und m = 4 : 0 — nicht definiert. Zeichnerisch entsteht die senkrechte Linie x = 2. Sie ist zwar eine Gerade, aber keine Funktion: Der Stelle x = 2 wären unendlich viele y-Werte zugeordnet, und eine Funktion darf jedem x höchstens einen Wert zuweisen. Ein senkrechter Strich durch den Graphen träfe ihn unendlich oft.
      A29
      Alles zusammen: von zwei Punkten bis zur Nullstelle
      Mix
      Eine Gerade geht durch P₁(−1 | −4) und P₂(3 | 4). Hier steckt das ganze Kapitel drin: Steigung, y-Achsenabschnitt, Nullstelle und eine Vorhersage.
      1. Δy = 4 − (−4)
      2. Δx = 3 − (−1)
      3. m = Δy : Δx
      4. b = y₁ − m · x₁ = −4 − 2 · (−1)
      5. Nullstelle: 2x − 2 = 0
      6. y-Wert an der Stelle x = 10
      Die Gleichung lautet y = 2x − 2. Bitte den Punkt als Dezimaltrennzeichen verwenden.
      A30
      Trickaufgabe: drei Behauptungen von Jonas
      Mix

      Jonas hat sich drei Dinge gemerkt — und alle drei sind schief. Finde jeweils heraus, was genau nicht stimmt.

      a) „Bei P₁(2 | 6) und P₂(5 | 3) ist m = 3 : 3 = 1, die Gerade steigt.“
      Jonas hat im Zähler die Reihenfolge gedreht. Richtig ist Δy = 3 − 6 = −3 und Δx = 5 − 2 = 3, also m = −1. Die Gerade fällt. Schon das Bild verrät es: Der rechte Punkt liegt tiefer als der linke — da kann nichts steigen.
      b) „Wenn zwei Punkte sehr weit auseinanderliegen, ist die Steigung größer.“
      Nein. m ist ein Verhältnis, kein Abstand. P₁(0 | 0) und P₂(1 | 1) liefern m = 1, und P₁(0 | 0) mit P₂(100 | 100) ebenfalls m = 1 — es ist dieselbe Gerade. Nur wenn Δy stärker wächst als Δx, wird die Gerade steiler.
      c) „Ich habe m ausgerechnet und dann beide Punkte eingesetzt. Es kamen zwei verschiedene b heraus — also nehme ich den Mittelwert.“
      Zwei verschiedene b sind unmöglich, wenn m stimmt: Beide Punkte liegen ja auf derselben Geraden. Kommen zwei Werte heraus, steckt der Fehler in m oder in einer der beiden Einsetz-Rechnungen — meistens ein Vorzeichen. Der Mittelwert würde den Fehler nur verstecken: Die Gerade träfe dann keinen der beiden Punkte. Rechne stattdessen beide Wege nach; die Abweichung zeigt dir genau, wo es hakt.
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