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Zwei Punkte, eine Gerade
Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. Aus ihren Koordinaten erhältst du zuerst die Steigung, dann den y-Achsenabschnitt.
- Steigung:\(m = \tfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) aus den Koordinaten von \(P\) und \(Q\).
- y-Achsenabschnitt:einen Punkt in \(y = mx + b\) einsetzen und nach \(b\) auflösen.
- Beispiel:\(P(2 \mid 2)\), \(Q(6 \mid 4)\): \(m = \tfrac{2}{4} = 0{,}5\), \(2 = 0{,}5 \cdot 2 + b\), also \(b = 1\).
- Senkrecht:haben beide Punkte dasselbe \(x\), gibt es keine Funktionsgleichung.
Merke
Steigung aus zwei Punkten: \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
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Rechnen und prüfen
Nach dem Aufstellen prüfst du die Gleichung mit dem zweiten Punkt — der Punktprobe.
- Punktprobe:Koordinaten einsetzen: Stimmt die Gleichung, liegt der Punkt auf der Geraden.
- Reihenfolge:egal, welcher Punkt \(P\) und welcher \(Q\) heißt — \(m\) bleibt gleich.
- Brüche:bei krummen Steigungen mit Brüchen weiterrechnen und erst am Ende runden.
Merke
Geradengleichung: \(b = y_1 - m \cdot x_1\), danach \(y = m \cdot x + b\)
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Allgemeine Hinweise
Gleiche Reihenfolge
Im Zähler und im Nenner muss derselbe Punkt zuerst stehen. Sonst stimmt das Vorzeichen von \(m\) nicht.
Punktprobe mit Q
Hast du \(b\) mit \(P\) berechnet, prüfe mit \(Q\). So fällt ein Rechenfehler sofort auf.
Skizze
Eine kleine Skizze zeigt, ob die Gerade steigt oder fällt. Das Vorzeichen von \(m\) muss dazu passen.