Der Stromzähler im Ferienhaus
AFB IIFamilie Bergmann mietet für drei Wochen ein Ferienhaus. Der Anreisetag ist Tag 0. Ab dem vierten Tag liest die Familie mehrmals den Stromzähler ab; er zeigt an, wie viele Kilowattstunden (kWh) im Haus seit seinem Einbau insgesamt verbraucht wurden. Die drei Ablesungen stehen in Material M1.
Kühlschrank, Warmwasser und Licht brauchen jeden Tag ungefähr gleich viel Strom, der Zählerstand wächst deshalb gleichmäßig. Am Ende rechnet der Vermieter 0,40 € für jede verbrauchte Kilowattstunde ab.
| Tag \(t\) der Ferien | 4 | 10 | 16 |
|---|---|---|---|
| Zählerstand \(z\) in kWh | 1236 | 1305 | 1374 |
Der Zähler zählt den Stromverbrauch des Hauses seit seinem Einbau — er startet also nicht bei null, wenn die Familie ankommt.
- Berechne aus den Ablesungen von Tag 4 und Tag 10 die Steigung \(m\) und deute sie im Sachzusammenhang.
- Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\), stelle die Funktionsgleichung für den Zählerstand auf und prüfe sie mit der Ablesung von Tag 16.
- Berechne den Zählerstand am Abreisetag (Tag 21) und gib an, wie viel die Familie für ihren Strom bezahlen muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Punkte: \(P_1(4 \mid 1236)\) und \(P_2(10 \mid 1305)\).
\(\Delta y = 1305\ \text{kWh} - 1236\ \text{kWh} = 69\ \text{kWh}\)
\(\Delta x = 10 - 4 = 6\ \text{Tage}\)
\(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{69\ \text{kWh}}{6\ \text{Tage}}=11{,}5\ \frac{\text{kWh}}{\text{Tag}}\)
Im Ferienhaus werden jeden Tag 11,5 kWh Strom verbraucht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Punkt \(P_1(4 \mid 1236)\) in \(z = m\cdot t + b\) einsetzen:
\(1236 = 11{,}5 \cdot 4 + b\)
\(1236 = 46 + b \;\Rightarrow\; b = 1236 - 46 = 1190\)
\(z(t) = 11{,}5 \cdot t + 1190\) (\(z\) in kWh, \(t\) in Tagen)
Punktprobe mit Tag 16: \(11{,}5 \cdot 16 + 1190 = 184 + 1190 = 1374\). Das ist genau der Wert aus der Tabelle, die Gleichung stimmt also.
Am Anreisetag stand der Zähler auf 1190 kWh.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(z(21) = 11{,}5 \cdot 21 + 1190 = 241{,}5 + 1190 = 1431{,}5\)
Eigener Verbrauch: \(1431{,}5\ \text{kWh} - 1190\ \text{kWh} = 241{,}5\ \text{kWh}\)
Kosten: \(241{,}5 \cdot 0{,}40\ \text{€} = 96{,}60\ \text{€}\)
Am Abreisetag zeigt der Zähler 1431,5 kWh. Die Familie hat in den drei Wochen 241,5 kWh verbraucht und muss dafür 96,60 € bezahlen.
Die Zielanzeige im Zug nach Rostock
AFB IIIIm Zug nach Rostock zeigt ein Bildschirm ständig an, wie viele Kilometer noch bis zum Ziel fehlen. Malik fotografiert die Anzeige zweimal und trägt beide Messwerte in ein Koordinatensystem ein (Material M2): waagerecht die Fahrzeit seit der Abfahrt in Minuten, senkrecht die restliche Entfernung in Kilometern. Der Zug fährt auf der ganzen Strecke gleich schnell.
Malik rechnet und behauptet: „Bei meinem ersten Foto waren es noch 210 km — so lang ist die Strecke also insgesamt. Und weil der Zug 2 km pro Minute schafft, ist er nach 210 : 2 = 105 Minuten am Ziel.“
Eingetragen sind nur die beiden fotografierten Anzeigen. Die Abfahrt und die Ankunft fehlen im Bild.
- Lies die Koordinaten der beiden Messpunkte \(P_1\) und \(P_2\) aus M2 ab und berechne daraus die Steigung \(m\).
- Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\), stelle die Funktionsgleichung für die Restentfernung auf und erkläre, was \(b\) hier bedeutet.
- Beurteile Maliks Behauptung. Berechne dazu, nach wie vielen Minuten der Zug am Ziel ist, und erkläre, worin sein Denkfehler besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus M2: \(P_1(20 \mid 210)\) und \(P_2(80 \mid 90)\).
\(\Delta s = 90\ \text{km} - 210\ \text{km} = -120\ \text{km}\)
\(\Delta t = 80\ \text{min} - 20\ \text{min} = 60\ \text{min}\)
\(m=\frac{-120\ \text{km}}{60\ \text{min}} = -2\ \frac{\text{km}}{\text{min}}\)
Das negative Vorzeichen bedeutet: Die Entfernung zum Ziel nimmt ab. Je Minute verringert sie sich um 2 km — der Zug fährt also 2 km pro Minute.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Punkt \(P_1(20 \mid 210)\) in \(s = m\cdot t + b\) einsetzen:
\(210 = (-2)\cdot 20 + b\)
\(210 = -40 + b \;\Rightarrow\; b = 210 + 40 = 250\)
\(s(t) = -2 \cdot t + 250\) (\(s\) in km, \(t\) in min)
Punktprobe mit \(P_2\): \(-2 \cdot 80 + 250 = -160 + 250 = 90\) ✓
\(b\) gehört zum Zeitpunkt \(t=0\), also zur Abfahrt. Die gesamte Strecke bis Rostock ist 250 km lang.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bedingung \(s=0\):
\(0 = -2t + 250 \;\Rightarrow\; 2t = 250 \;\Rightarrow\; t = 125\)
Der Zug ist nach 125 Minuten am Ziel, nicht nach 105 Minuten. Maliks Behauptung ist damit falsch.
Sein Denkfehler: Er hat den ersten Messwert 210 km für den Startwert \(b\) gehalten. Die 210 km gehören aber zum Zeitpunkt \(t=20\ \text{min}\) — da war der Zug schon 20 Minuten unterwegs und hatte bereits \(2 \cdot 20 = 40\ \text{km}\) hinter sich. Der Startwert \(b\) ist der Wert bei \(t=0\) und muss durch Einsetzen berechnet werden; er beträgt 250 km.
Man sieht den Fehler auch an seinem Ergebnis: Seine 105 Minuten zählen erst ab dem ersten Foto. Rechnet man die schon gefahrenen 20 Minuten dazu, kommt man auf \(20 + 105 = 125\) Minuten — genau das richtige Ergebnis. Die Strecke ist 250 km lang, und der Zug braucht dafür 125 Minuten.