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Übungen — Geraden durch Punktwolken

30 Aufgaben mit gestuften Hilfen: Punktwolken lesen, Trends erkennen, Ausgleichsgeraden legen, ihre Gleichung bestimmen.

Zurück zur ErklärungGeraden durch PunktwolkenApplets, Beispiele und Merksätze noch einmal nachlesen.
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Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix

A1
Stimmt das über Punktwolken?
AFB I
Sechs Aussagen zu Streudiagrammen und Ausgleichsgeraden. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
Aussage 1 von 6

A2
Was gilt für eine Ausgleichsgerade?
AFB I
Welche Aussagen über eine Ausgleichsgerade stimmen? Es sind mehrere richtig.
Eine Ausgleichsgerade ist eine begründete Schätzung: Nähe zu allen Punkten zählt, Treffer zählen nicht. Und weil jede Person das Lineal ein wenig anders anlegt, dürfen die Ergebnisse leicht voneinander abweichen.
A3
Die Fachbegriffe einsetzen
AFB I
Klicke erst ein Wort in der Bank, dann die passende Lücke im Text. Mit Tab und Enter geht es genauso.

Trägt man alle Messwertpaare ein, entsteht eine . Zeigen die Punkte grob in eine Richtung, spricht man von einem . Dann legt man eine so hinein, dass alle Punkte möglichst nah liegen. Eine Vorhersage innerhalb des gemessenen Bereichs heißt , außerhalb dagegen . Ein Punkt, der völlig aus der Reihe fällt, ist ein .

Sechs Begriffe, sechs Lücken — jedes Wort wird genau einmal gebraucht.
A4
Begriff und Bedeutung als Paare
AFB I
Decke zwei Karten auf und finde die zusammengehörenden Paare. Mit Tab und Enter geht es auch.
Sechs Paare — zwölf Karten. Wer sich die Positionen merkt, ist schneller fertig.
A5
Die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge
AFB I
Bringe die Schritte in die Reihenfolge, in der man sie abarbeitet. Mit den Pfeilknöpfen oder Tab und den Pfeiltasten geht es auch.
1 Alle Messwertpaare als Punkte eintragen
2 Prüfen, ob die Wolke überhaupt einen Trend zeigt
3 Die Ausgleichsgerade mit dem Lineal einzeichnen
4 Zwei gut ablesbare Punkte auf der Geraden wählen
5 m und b berechnen und die Gleichung aufschreiben
6 Vorhersagen berechnen und Interpolation von Extrapolation trennen
Zuerst schauen, dann zeichnen, dann rechnen — nie umgekehrt.
A6
Steigend, fallend oder ohne Zusammenhang?
AFB I
Sortiere die sechs Situationen danach, welchen Trend die Punktwolke zeigen würde. Erst eine Karte anklicken, dann den Korb — mit den Zifferntasten geht es auch.
1steigender Trend
2fallender Trend
3kein Zusammenhang
Frag dich jeweils: Wenn x größer wird — wird y dann eher größer, eher kleiner, oder ist es völlig egal?
A7
Die Steigung der Ausgleichsgeraden
AFB I
Eine Ausgleichsgerade geht durch die Punkte A(0 | 5) und B(10 | 25), die beide auf der Linie liegen. Berechne die Steigung m.
Δy = 25 − 5 = 20 und Δx = 10 − 0 = 10, also m = 20 : 10 = 2.
A8
Die Bestandteile eines Streudiagramms
AFB I
Sechs Fachbegriffe, sechs Felder. Klicke jeweils das Feld an, das gemeint ist — mit Tab und Enter geht es auch.

Messpunkt Ausgleichsgerade Abweichung Datenbereich Prognosewert Ausreißer
Alle sechs Begriffe stehen im Erklärtext — und alle sechs brauchst du in den nächsten Aufgaben wieder.
A9
Am Streudiagramm ablesen
AFB I

Die Ausgleichsgerade ist bereits eingezeichnet. Sie schneidet die y-Achse und verläuft durch gut ablesbare Gitterpunkte. Lies die gefragten Größen ab beziehungsweise rechne sie aus.

b zuerst: Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert dort, wo die Gerade die senkrechte Achse kreuzt — also an der Stelle x = 0.Warum hilft das? Mit b hast du sofort einen Punkt der Geraden: (0 | b).
m aus zwei Punkten: Nimm (0 | 3) und einen zweiten Punkt auf der Linie, etwa (5 | 13). Dann ist m = 10 : 5.Wichtig: beide Punkte von der Geraden, keine Messpunkte.
Lösung: b = 3 und m = 2, also y = 2x + 3. Für x = 6 ergibt das y = 15. Oberhalb der Geraden liegen die drei Punkte bei x = 1, x = 4 und x = 6.
123456789246810121416182022xy
Acht Messpunkte, dazu die fertig eingezeichnete Ausgleichsgerade
A10
Von der Geraden zur Vorhersage — Schritt für Schritt
AFB II
Eine Ausgleichsgerade verläuft durch die Punkte A(2 | 9) und B(8 | 27), die beide auf der Linie liegen. Arbeite dich von oben nach unten durch; jede Zeile wird erst freigeschaltet, wenn die vorige stimmt.
  1. Δy = 27 − 9
  2. Δx = 8 − 2
  3. m = Δy : Δx
  4. b = 9 − 3 · 2
  5. Vorhersage für x = 5: y = 3 · 5 + 3
Genau derselbe Weg wie bei zwei gegebenen Punkten — nur dass A und B diesmal von deiner gezeichneten Geraden stammen. Bitte den Punkt als Dezimaltrennzeichen verwenden.
A11
Interpolation oder Extrapolation?
AFB II
Gemessen wurde bei x-Werten zwischen 10 und 40. Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Achte besonders auf die Zeile mit dem Randwert.
gesuchter x-WertInterpolationExtrapolation
x = 25
x = 45
x = 12
x = 5
x = 40
x = 60
x = 40 ist der Rand des gemessenen Bereichs und zählt noch dazu — ab 40,1 beginnt die Extrapolation.
A12
Die Bohnenpflanze wächst
AFB II

Zehn Tage lang wurde die Höhe einer Bohnenpflanze gemessen. Die Ausgleichsgerade ist eingezeichnet; sie verläuft durch A(0 | 4) und B(10 | 24).

cm pro Tag
cm
cm
cm
Zwei Punkte auf der Linie: A und B stehen in der Aufgabe. Rechne damit Δy = 24 − 4 und Δx = 10 − 0.Warum hilft das? Beide Punkte liegen exakt auf der Geraden — genau das braucht die Steigungsformel.
Einsetzen: Steht die Gleichung y = 2x + 4, setzt du für x einfach den Tag ein.Bei Tag 15 verlässt du den gemessenen Bereich von 1 bis 10.
Lösung: m = 20 : 10 = 2 cm pro Tag, b = 4 cm. Tag 7: y = 18 cm (Interpolation). Tag 15: y = 34 cm — das ist bereits Extrapolation und nur mit Kommentar zulässig.
gemessen2468101214164812162024283236TagHöhe in cm
Grün hinterlegt: der Bereich, in dem wirklich gemessen wurde
A13
Änderungsrate und Bedeutung verbinden
AFB II
Verbinde jede Zahl mit dem Satz, der sie im Sachzusammenhang richtig beschreibt. Erst links, dann rechts klicken.
Die Einheit von m ist immer „y-Einheit pro x-Einheit“ — sie verrät dir den passenden Satz fast von allein.
A14
Was gilt wofür?
AFB II
Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu: Gilt sie nur für Interpolation, nur für Extrapolation oder für beides? Mit den Tasten 1 bis 3 geht es auch.
1 nur Interpolation
2 gilt für beides
3 nur Extrapolation
Gerechnet wird in beiden Fällen gleich — unterschiedlich ist nur, wie sehr man dem Ergebnis trauen darf.
A15
Finde die Fehler in Lisas Lösung
AFB II
Lisa hat eine Punktwolke ausgewertet. Drei ihrer sechs Zeilen sind falsch. Klicke genau diese an und prüfe dann.
Alle drei Fehler gehören zu den häufigsten Überhaupt — sie stehen auch im Kasten „Häufiger Irrtum“ auf der Erklärseite.
A16
Der Weg durch eine Datenauswertung
AFB II
Vier Situationen, jeweils eine richtige Entscheidung. Wähle in jeder Szene die beste Vorgehensweise.
    Vier Entscheidungen, vier Mal dieselbe Grundregel: erst schauen, dann rechnen, dann ehrlich einordnen.
    A17
    Den Startwert bestimmen
    AFB II
    Eine Ausgleichsgerade hat die Steigung m = 2,5 und verläuft durch den Punkt (4 | 17). Berechne den y-Achsenabschnitt b.
    Einsetzen in y = m · x + b ergibt 17 = 2,5 · 4 + b, also 17 = 10 + b und damit b = 7.
    A18
    Die Gleichung zusammenbauen
    AFB II
    Eine Ausgleichsgerade verläuft durch A(0 | 24) und B(8 | 8). Baue aus den Bausteinen ihre Gleichung. Drei Bausteine bleiben übrig.
    Δy = 8 − 24 = −16 und Δx = 8, also m = −2. A liegt auf der y-Achse, also ist b = 24.
    A19
    Ein Ausreißer im Datensatz
    AFB II

    Bei acht Messungen ist etwas schiefgegangen: Ein Wert fällt völlig aus der Reihe. Die Ausgleichsgerade wurde ohne diesen Wert bestimmt; sie lautet y = 3x + 2.

    Erst suchen: Schau, welcher Punkt weit von der Linie entfernt liegt. Alle anderen liegen höchstens ein Kästchen daneben.Warum hilft das? Ein Ausreißer fällt im Bild sofort auf — man muss nicht rechnen, um ihn zu finden.
    Abweichung ausrechnen: Setze den x-Wert in y = 3x + 2 ein und ziehe das Ergebnis vom gemessenen y-Wert ab.Die Abweichung wird immer senkrecht gemessen.
    Lösung: Der Ausreißer liegt bei x = 5 mit y = 35. Die Gerade liefert dort 3 · 5 + 2 = 17, die Abweichung beträgt also 35 − 17 = 18. Alle übrigen Punkte weichen nur um 1 ab.
    1234567894812162024283236xy
    Der rote Punkt liegt weit über der Geraden
    A20
    Entscheidungsbaum: Darf ich vorhersagen?
    AFB II
    Beantworte die Fragen für folgenden Fall: Die Wolke zeigt einen klaren Trend, der gesuchte x-Wert liegt außerhalb des gemessenen Bereichs — aber nur knapp dahinter. Finde das passende Ergebnis.
      Derselbe Baum funktioniert bei jeder Aufgabe dieser Art — du musst nur wissen, wo der gemessene Bereich endet.
      A21
      Wie zuverlässig ist die Vorhersage?
      AFB II
      Gemessen wurde bei Temperaturen zwischen 16 °C und 30 °C; die Gerade lautet y = 5 · x − 40. Schätze für jede Vorhersage, wie sehr man ihr trauen darf.
      gar nichtsehr
      Vorhersage für 23 °C — mitten in den Daten
      Vorhersage für 31 °C — ein Grad über dem Rand
      Vorhersage für 37 °C — sieben Grad über dem Rand
      Vorhersage für 9 °C — sieben Grad unter dem Rand
      Vorhersage für 55 °C — weit jenseits aller Daten
      Extrapolation ist keine Ja-Nein-Frage, sondern eine Frage des Abstands. Und sie gilt nach beiden Seiten — auch nach links.
      A22
      Den Wertverlust zusammenstellen
      AFB II
      Ein Auto verliert nach der Ausgleichsgeraden 1500 € pro Jahr. Wähle Kacheln aus, bis ihre Summe genau dem Wertverlust nach 7 Jahren entspricht.
      0 €
      Ziel: 10500 €
      7 · 1500 € = 10 500 €. Es gibt mehrere Wege dorthin — zum Beispiel 6000 € und 4500 €.
      A23
      Die Tabelle auswerten
      AFB II

      Sechs Messungen zum Akkustand eines Handys beim Videostreaming. Die Ausgleichsgerade verläuft durch A(0 | 100) und B(60 | 64).

      % pro Minute
      %
      %
      %
      Differenzen zuerst: Δy = 64 − 100 und Δx = 60 − 0 — beide Punkte liegen auf der Geraden.Warum hilft das? Ein negatives Δy führt automatisch zu einem negativen m, und das passt zu einem sinkenden Akkustand.
      b geschenkt: A hat x = 0, also ist b direkt die y-Koordinate von A.Der Startwert ist hier der volle Akku.
      Lösung: m = −36 : 60 = −0,6 und b = 100, also y = −0,6x + 100. Nach 80 Minuten sind das 52 %, nach 100 Minuten 40 % — beides bereits Extrapolation, denn gemessen wurde nur bis 60 Minuten.
      Minuten102030405060Akku %958783757264Sechs Messwertpaare: Streamingdauer und Akkustand in Prozent.
      Der Akkustand sinkt — aber nicht ganz gleichmäßig
      A24
      Rückwärts rechnen: Bei welcher Temperatur?
      AFB III
      Die Ausgleichsgerade eines Eiskiosks lautet y = 5 · x − 40. Bei welcher Temperatur sagt sie genau 120 verkaufte Becher voraus? Stelle den Wert am Regler ein.
      0 °C45 °C
      Diesmal ist y gegeben und x gesucht: 120 = 5x − 40 führt auf 5x = 160 und damit x = 32. Gemessen wurde nur bis 30 °C — also ist auch dieses Ergebnis schon eine Extrapolation.
      A25
      Sechs anspruchsvolle Aussagen
      AFB III
      Diese Aussagen sind nicht mehr offensichtlich. Lies genau — manchmal entscheidet ein einziges Wort.
      Aussage 1 von 6

      A26
      Begründen und widerlegen
      AFB III

      Drei Fragen zu Punktwolken. Begründe jeweils selbst, bevor du aufklappst.

      a) Warum liest man m nicht aus zwei Messpunkten ab?
      Weil jeder einzelne Messwert selbst streut. Zwei Messpunkte tragen also zwei zufällige Abweichungen in die Rechnung hinein, und alle übrigen Messungen bleiben unbenutzt. Die Ausgleichsgerade dagegen ist bereits das Ergebnis aller Punkte zusammen — wer zwei Punkte von ihr abliest, nutzt indirekt den ganzen Datensatz. Genau deshalb ist die Reihenfolge so wichtig: erst zeichnen, dann ablesen.
      b) Zwei Personen erhalten y = 2,1x + 3 und y = 1,9x + 3,4. Hat sich jemand verrechnet?
      Nicht unbedingt. Eine Ausgleichsgerade wird nach Augenmaß angelegt, und kleine Unterschiede in der Lage des Lineals führen zu leicht verschiedenen Zahlen. Solange beide Geraden nah beieinander liegen und beide Bedingungen erfüllen — nah an allen Punkten, gleichmäßig verteilt —, sind beide brauchbar. Bei x = 10 sagen sie 24 beziehungsweise 22,4 voraus; dieser Unterschied ist die ehrliche Unschärfe des Verfahrens. Ein Rechenfehler läge erst vor, wenn eine der Geraden sichtbar neben der Wolke verliefe.
      c) Warum wird die Abweichung senkrecht und nicht als kürzester Abstand gemessen?
      Weil der x-Wert nicht geschätzt, sondern gemessen wurde — er steht fest. Was verglichen werden soll, ist der gemessene y-Wert mit dem y-Wert, den die Gerade an genau dieser Stelle vorhersagt. Der schräge, kürzeste Abstand würde dagegen so tun, als dürfte man auch den x-Wert ein wenig verschieben. Genau darum geht es bei einer Vorhersage aber nie: Man gibt ein x vor und fragt nach y.
      A27
      Eine Behauptung unter die Lupe nehmen
      AFB III
      In einer Zeitung steht: „Wer mehr Sport treibt, lebt länger — unsere Auswertung von 200 Personen zeigt einen klaren Zusammenhang.“ Welche Einwände sind berechtigt?
      Vier der sechs Einwände sind berechtigt. Der zweite und der letzte sind die beiden klassischen Alternativen zu „A verursacht B“: eine dritte Größe oder die umgekehrte Wirkungsrichtung.
      A28
      Zwei Geraden im Vergleich
      AFB III

      Zwei Personen haben in dieselbe Punktwolke eine Gerade gelegt. Mira zeichnet die grüne Gerade y = 1,5x − 0,5, Timo die rote Gerade y = x + 1. Bestimme für beide die Gütezahl — also die Summe aller senkrechten Abstände.

      Tabelle anlegen: Schreibe für jedes x den gemessenen y-Wert und den Wert der Geraden untereinander und bilde die Differenz — ohne Vorzeichen.Warum hilft das? Die Gütezahl addiert Abstände, und Abstände sind nie negativ.
      Grün zuerst: Bei x = 1 sagt grün 1, gemessen wurde 2 — Abstand 1. Mach so weiter bis x = 8.Bei halben Werten wie 2,5 ergibt sich ein Abstand von 0,5.
      Lösung: Grün: 1 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1,5 + 1 + 0,5 = 7. Rot: 0 + 1 + 1 + 0 + 2 + 0 + 3 + 2 = 9. Rot trifft drei Punkte genau, ist aber trotzdem die schlechtere Gerade — grün trifft keinen einzigen und gewinnt.
      TimoMira12345678924681012xy
      Rot gestrichelt: Timo. Grün: Mira.
      A29
      Mix: von der Punktwolke zur Nullstelle
      Mix
      Ein Auto verliert an Wert. Die Ausgleichsgerade verläuft durch A(0 | 24) und B(8 | 8); y ist der Preis in 1000 €, x das Alter in Jahren. Rechne bis zur Nullstelle durch — das Verfahren dazu kennst du aus dem Kapitel „Nullstellen“.
      1. Δy = 8 − 24
      2. Δx = 8 − 0
      3. m = Δy : Δx
      4. b (A liegt auf der y-Achse)
      5. Nullstelle: 0 = −2 · x + 24, also x
      Die Nullstelle sagt: Nach 12 Jahren wäre das Auto rechnerisch wertlos. Gemessen wurde aber nur bis 8 Jahre — also ist auch diese Zahl eine Extrapolation. Bitte den Punkt als Dezimaltrennzeichen verwenden.
      A30
      Trickaufgabe: drei Schlagzeilen
      Mix

      Drei Schlagzeilen, drei Punktwolken — und dreimal derselbe Denkfehler in verschiedener Verkleidung. Finde jeweils heraus, was genau nicht stimmt, bevor du aufklappst.

      a) „Städte mit mehr Störchen haben mehr Geburten — Störche bringen also doch die Kinder.“
      Die Punktwolke mag tatsächlich steigen, aber die Erklärung ist falsch. Beide Größen hängen an einer dritten: der Stadtgröße. Große Regionen haben mehr Menschen und mehr Nistplätze. So etwas heißt Scheinkorrelation. Richtig wäre: „Es besteht ein Zusammenhang“ — mehr nicht.
      b) „Je mehr Feuerwehrleute im Einsatz sind, desto größer der Schaden. Die Feuerwehr macht alles schlimmer.“
      Hier ist die Wirkungsrichtung vertauscht. Nicht die Feuerwehr verursacht den Schaden, sondern der große Brand verursacht beides: viel Schaden und viele Einsätze. Eine Korrelation sagt eben nichts darüber, was Ursache und was Wirkung ist — sie sagt nur, dass beide Reihen zusammen laufen.
      c) „Unsere Gerade aus fünf Messungen zwischen 1 und 5 Jahren sagt für 30 Jahre einen Preis von −40 000 € voraus. Also bekommt man für einen 30 Jahre alten Wagen 40 000 € geschenkt.“
      Die Rechnung ist richtig, die Aussage ist Unsinn — und der Fehler steckt nicht in der Mathematik, sondern im Übertragen auf die Wirklichkeit. 30 liegt sechsmal so weit vom Datenrand entfernt wie der gesamte gemessene Bereich breit ist. Außerhalb der Daten rechnet die Gerade stur weiter, die Wirklichkeit tut das nicht: Autopreise nähern sich einem kleinen Wert an, statt ins Negative zu laufen. Genau dafür gibt es das Wort Extrapolation — als Warnschild, nicht als Erlaubnis.
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