Fahrzeiten im Zugfahrplan
AFB IIFür ein Referat notiert Timo bei acht Regionalzug-Verbindungen die Entfernung zwischen Start- und Zielbahnhof in Kilometern und die Fahrzeit laut Fahrplan in Minuten. Weil die Züge unterschiedlich oft halten und mal schneller, mal langsamer fahren dürfen, liegen die Messpunkte nicht genau auf einer Geraden (Material M1).
Timo hat mit dem Lineal eine Ausgleichsgerade in die Punktwolke gelegt. Zwei Punkte, die genau auf dieser Geraden liegen, sind mit A und B markiert.
| Verbindung | Entfernung \(x\) in km | Fahrzeit \(y\) in min |
|---|---|---|
| Zug 1 | 50 | 52 |
| Zug 2 | 70 | 59 |
| Zug 3 | 90 | 82 |
| Zug 4 | 110 | 89 |
| Zug 5 | 130 | 112 |
| Zug 6 | 170 | 133 |
| Zug 7 | 190 | 157 |
| Zug 8 | 210 | 163 |
Die Punkte werden nicht verbunden. Die rote Gerade ist die Ausgleichsgerade; A und B liegen genau auf ihr, sind aber keine Messpunkte.
- Beschreibe den Trend der Punktwolke. Lies danach die Koordinaten der beiden markierten Punkte A und B ab.
- Bestimme die Gleichung der Ausgleichsgeraden in der Form \(y = m\cdot x + b\) und deute die Steigung \(m\) mit Einheit im Sachzusammenhang.
- Eine neue Verbindung ist 150 km lang; im Fahrplan steht für sie eine Fahrzeit von 127 Minuten. Berechne die Fahrzeit, die deine Gleichung vorhersagt, und erkläre, warum Vorhersage und Fahrplan nicht genau übereinstimmen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Punkte laufen von links unten nach rechts oben: Je größer die Entfernung, desto länger die Fahrzeit. Es liegt also ein steigender Trend vor, und eine Ausgleichsgerade ist hier sinnvoll.
Abgelesen: \(A(40 \mid 40)\) und \(B(200 \mid 160)\).
Beide Punkte liegen auf der gezeichneten Geraden — in der Tabelle stehen sie nicht, und das ist auch richtig so.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\Delta x = 200\ \text{km} - 40\ \text{km} = 160\ \text{km}\)
\(\Delta y = 160\ \text{min} - 40\ \text{min} = 120\ \text{min}\)
\(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{120\ \text{min}}{160\ \text{km}}=0{,}75\ \frac{\text{min}}{\text{km}}\)
\(b\) durch Einsetzen von A: \(40 = 0{,}75\cdot 40 + b \;\Rightarrow\; 40 = 30 + b \;\Rightarrow\; b = 10\)
\(y = 0{,}75\cdot x + 10\) (\(x\) in km, \(y\) in min)
Deutung: Je zusätzlichem Kilometer Strecke wächst die Fahrzeit im Mittel um \(0{,}75\ \frac{\text{min}}{\text{km}}\), also um 45 Sekunden. Der Wert \(b = 10\ \text{min}\) ist hier vor allem eine Rechengröße: Eine Fahrt über 0 km kommt in den Daten gar nicht vor.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(y = 0{,}75\cdot 150 + 10 = 112{,}5 + 10 = 122{,}5\)
Die Stelle \(x=150\) liegt zwischen der kleinsten (50 km) und der größten gemessenen Entfernung (210 km). Es handelt sich also um eine Interpolation, und die ist zuverlässig.
Unterschied zum Fahrplan: \(127\ \text{min} - 122{,}5\ \text{min} = 4{,}5\ \text{min}\).
Die Ausgleichsgerade beschreibt nur den mittleren Verlauf. Jede einzelne Verbindung streut darum herum, weil die Züge verschieden oft halten und verschieden schnell fahren dürfen; in M1 liegen die Messpunkte ebenfalls bis zu etwa 4,5 Minuten neben der Geraden. Die Gerade sagt rund 122,5 Minuten voraus, der Fahrplan nennt 127 Minuten — die Abweichung von 4,5 Minuten ist genau die übliche Streuung und kein Rechenfehler.
Wie schwer wird ein Beagle?
AFB IIIIn einer Tierarztpraxis werden acht Beagle-Welpen gewogen. Zu jedem Welpen sind das Alter in Wochen und die Masse in Kilogramm notiert (Material M2). In die Punktwolke ist eine Ausgleichsgerade gelegt; die Punkte A und B liegen genau auf ihr.
Noah rechnet zu Hause weiter und schreibt in sein Heft: „Die Punkte liegen fast auf einer Geraden. Ein Beagle nimmt also 0,5 kg pro Woche zu. Zwei Jahre sind 104 Wochen — ein ausgewachsener Beagle wiegt demnach etwa 53 kg.“
Im Tierlexikon steht: Ein ausgewachsener Beagle wiegt zwischen 10 kg und 14 kg.
| Welpe | Alter \(x\) in Wochen | Masse \(y\) in kg |
|---|---|---|
| Welpe 1 | 3 | 2,9 |
| Welpe 2 | 5 | 3,2 |
| Welpe 3 | 6 | 4,4 |
| Welpe 4 | 8 | 4,7 |
| Welpe 5 | 9 | 5,9 |
| Welpe 6 | 11 | 6,2 |
| Welpe 7 | 13 | 7,9 |
| Welpe 8 | 15 | 8,2 |
Gemessen wurde nur im Bereich von 3 bis 15 Wochen — darüber hinaus sagen die Daten nichts.
- Bestimme aus den Punkten A und B die Gleichung der Ausgleichsgeraden.
- Berechne mit deiner Gleichung die Masse eines 10 Wochen alten Welpen und begründe, warum man dieser Vorhersage trauen darf.
- Beurteile Noahs Aussage. Prüfe dazu seine Rechnung und erkläre, worin sein Denkfehler besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Abgelesen: \(A(4 \mid 3)\) und \(B(14 \mid 8)\).
\(\Delta x = 14 - 4 = 10\), \(\Delta y = 8 - 3 = 5\)
\(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5\ \text{kg}}{10\ \text{Wochen}}=0{,}5\ \frac{\text{kg}}{\text{Woche}}\)
Einsetzen von A: \(3 = 0{,}5\cdot 4 + b \;\Rightarrow\; 3 = 2 + b \;\Rightarrow\; b = 1\)
Die Ausgleichsgerade hat die Gleichung \(y = 0{,}5\cdot x + 1\) (\(x\) in Wochen, \(y\) in kg). Die Welpen nehmen im Mittel um \(0{,}5\ \frac{\text{kg}}{\text{Woche}}\) zu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(y = 0{,}5\cdot 10 + 1 = 5 + 1 = 6\)
Gemessen wurde bei Welpen von 3 bis 15 Wochen. Die Stelle \(x=10\) liegt mitten in diesem Bereich, links und rechts davon gibt es echte Messwerte — es ist also eine Interpolation, und dort stützen die Daten die Gerade.
Ein 10 Wochen alter Beagle-Welpe wiegt nach dem Modell etwa 6 kg. Weil die Messwerte streuen, darf der einzelne Welpe einige hundert Gramm darüber oder darunter liegen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Noahs Rechnung nachgeprüft: \(y = 0{,}5\cdot 104 + 1 = 52 + 1 = 53\). Die Rechnung selbst ist richtig — der Fehler steckt nicht im Rechnen.
Gemessen wurde nur zwischen 3 und 15 Wochen. Mit 104 Wochen geht Noah weit über diesen Bereich hinaus: Das ist eine Extrapolation, und zwar eine sehr weite — rund das Siebenfache des größten gemessenen Alters.
Wann erreicht die Gerade das Gewicht aus dem Tierlexikon? \(12 = 0{,}5\cdot x + 1 \;\Rightarrow\; 0{,}5\cdot x = 11 \;\Rightarrow\; x = 22\). Schon nach etwa 22 Wochen wäre der Hund ausgewachsen — danach beschreibt die Gerade gar nichts mehr.
Noahs Aussage ist falsch: Ein ausgewachsener Beagle wiegt 10 kg bis 14 kg, nicht 53 kg. Sein Denkfehler ist die unzulässig weite Extrapolation. Er nimmt an, die gleichmäßige Zunahme von 0,5 kg pro Woche gehe ewig weiter. Die Gerade rechnet stur weiter, der Hund aber hört nach einigen Monaten auf zu wachsen. Ein kleines Stück über die Daten hinaus — etwa bis 18 Wochen — wäre vertretbar, müsste aber dazugesagt werden.