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Zusammenfassung

Vom Hunderterfeld über Rabatte bis zum Zinseszins — das ganze Kapitel Prozent- und Zinsrechnung auf einer Seite.

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Prozente verstehen

Prozent heißt „von Hundert“: Anteile werden auf dasselbe Ganze 100 gebracht und dadurch vergleichbar.

Prozentbegriff

\( 1\,\% \) ist ein Hundertstel. \( 18 \) von \( 25 \) sind \( \frac{72}{100}=72\,\% \).

\( p\,\%=\tfrac{p}{100} \)

Schreibweisen wechseln

Prozent → Dezimalzahl: durch 100. Dezimalzahl → Prozent: mal 100. Bruch → Prozent: Zähler durch Nenner.

\( \tfrac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\% \)

Wichtige Anteile

Halbe, Viertel, Fünftel, Zehntel und Achtel sollten ohne Rechner sitzen.

\( \tfrac14=25\,\% \;\; \tfrac15=20\,\% \;\; \tfrac18=12{,}5\,\% \)

Diagramme

Streifen: ganze Länge = 100 %. Kreis: Vollkreis \( 360^\circ \) = 100 %.

\( \alpha=p\cdot 3{,}6^\circ \)

Summe prüfen

Alle Anteile eines Diagramms ergeben zusammen \( 100\,\% \) bzw. \( 360^\circ \). Sonst stimmt etwas nicht.

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Die Prozentrechnung

Drei Größen hängen zusammen: Grundwert \( G \) (das Ganze), Prozentsatz \( p\,\% \) (der Anteil) und Prozentwert \( W \) (der Teil).

Prozentwert

15 % von 60 €: \( 60\,€\cdot 0{,}15=9\,€ \). Der Prozentwert hat die Einheit des Grundwerts.

\( W=G\cdot\tfrac{p}{100} \)

Prozentsatz

42 von 48 Punkten: \( \frac{42}{48}=0{,}875=87{,}5\,\% \). Immer Teil durch Ganzes.

\( p\,\%=\tfrac{W}{G} \)

Grundwert

30 % sind 9 Kinder: \( 9\cdot 100:30=30 \) Kinder.

\( G=\tfrac{W\cdot 100}{p} \)

Aufschlag und Rabatt

+20 %: mal \( 1{,}2 \). −20 %: mal \( 0{,}8 \). Rückwärts: durch den Faktor teilen.

\( G^{\pm}=G\cdot\left(1\pm\tfrac{p}{100}\right) \)
Änderungen nacheinander
\( \text{Gesamtfaktor}=q_1\cdot q_2 \)

\( +20\,\% \) und danach \( -20\,\% \): \( 1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96 \), also insgesamt \( 4\,\% \) weniger — Prozentsätze nie einfach addieren.

Grundwert erkennen

Der Grundwert ist die Größe, auf die sich die Prozente beziehen — meist steht er hinter „von“. Bei Rabatten ist es der alte Preis.

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Die Zinsrechnung

Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit neuen Namen: Kapital \( K \), Zinssatz \( p\,\% \) pro Jahr und Zinsen \( Z \).

Jahreszinsen

3 200 € zu 1,5 %: \( 3200\,€\cdot 0{,}015=48\,€ \).

\( Z=K\cdot\tfrac{p}{100} \)

Kapital und Zinssatz

Umstellen wie beim Grundwert und beim Prozentsatz.

\( K=\tfrac{Z\cdot 100}{p} \;\; p\,\%=\tfrac{Z}{K} \)

Monate und Tage

Bankjahr: 360 Tage, jeder Monat 30 Tage. Einzahlungstag zählt nicht, Auszahlungstag schon.

\( Z=K\cdot\tfrac{p}{100}\cdot\tfrac{t}{360} \)

Zinseszins

Die Zinsen werden mitverzinst: jedes Jahr mit \( q=1+\frac{p}{100} \) multiplizieren.

\( K_n=K_0\cdot q^n \)
Zinsen für t Tage
\( Z=K\cdot\dfrac{p}{100}\cdot\dfrac{t}{360} \)

Für \( m \) Monate steht \( \frac{m}{12} \) statt \( \frac{t}{360} \). Beispiel: 2 400 € zu 2 % vom 15.03. bis 20.07. (125 Tage): \( 48\,€\cdot\frac{125}{360}\approx 16{,}67\,€ \).

Zinsen oder Kontostand?

Gefragt nach den Zinsen: nur \( Z \). Gefragt nach dem Guthaben: \( K+Z \). Beim Zinseszins liefert \( K_0\cdot q^n \) direkt das Guthaben.

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