Neben, gegenüber, gleiche Stelle, über Kreuz: zehn Übungen, bis jedes Winkelpaar an Geradenkreuzungen sitzt.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen von AFB I bis AFB III — zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Begründen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler; bei Rechenaufgaben helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Winkelpaare im Bild finden
AFB I
Die Geraden g und h sind parallel und werden von s geschnitten. Finde die gesuchten Winkel. Achtung: s ist diesmal nach links gekippt.
Klicke im Bild die Nummer des gesuchten Winkels an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Stufenwinkel liegen an beiden Kreuzungen an derselben Stelle (2 und 6, 4 und 8), Wechselwinkel über Kreuz auf verschiedenen Seiten von s (3 und 5 zwischen den Parallelen, 1 und 7 außen). Ob s nach rechts oder links kippt, ändert an den Paaren nichts — nur die F- und Z-Form steht gespiegelt.
A2
Kreuztabelle der Winkelpaare
AFB I
Kreuze für jedes Paar an, was zutrifft. Die Geraden g und h werden von s geschnitten.
Bezeichnung wie im Erklärteil: an g liegen α (oben rechts), β (oben links), γ (unten links) und δ (unten rechts); an h dieselben Stellen mit Strich: α′, β′, γ′, δ′.
Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
Winkelpaar
Nebenwinkel
Scheitelwinkel
Stufenwinkel
Wechselwinkel
gleich groß (bei g ∥ h)
α und β
α und γ
β und β′
δ und β′
γ und δ′
α und β sind nur dann gleich groß, wenn beide 90° haben — im Allgemeinen ergänzen sie sich zu 180°. Das Paar γ und δ′ ist eine Falle: Es hat keinen der vier Namen. Weil γ = α und δ′ = β′ = β ist, ergeben γ und δ′ zusammen 180°, gleich groß sind sie nicht.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen über Winkel an Geradenkreuzungen. Überlege bei jeder, ob sie immer gilt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Neben- und Scheitelwinkel gelten an jeder Kreuzung. Stufen- und Wechselwinkel sind nur an Parallelen gleich groß — und umgekehrt beweisen gleich große Stufen- oder Wechselwinkel, dass die Geraden parallel sind.
A4
Rechenkette: um 36° größer
AFB II
Die Geraden g und h sind parallel und werden von s geschnitten. An g ist α um 36° größer als sein Nebenwinkel β.
Bezeichnung wie im Erklärteil: an g liegen α (oben rechts), β (oben links), γ (unten links) und δ (unten rechts); an h dieselben Stellen mit Strich: α′, β′, γ′, δ′.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
β°
α°
γ′°
Wechselwinkel zu δ°
α + β = 180° und α = β + 36°: Zieht man die 36° ab, bleiben 144° für zwei gleiche Teile, also β = 72° und α = 108°. γ′ ist Stufenwinkel zu γ und γ Scheitelwinkel zu α, also 108°. Der Wechselwinkel zu δ ist β′ = δ = β = 72°. Typischer Fehler: 180° − 36° = 144° schon für α halten.
Ansatz: α und β ergeben zusammen 180°. Nimm die 36° Unterschied erst einmal weg — der Rest wird gerecht geteilt.
Rechenweg: (180° − 36°) : 2 = 72° für β. Für γ′ gehst du über γ (Scheitelwinkel von α); für β′ über δ.
A5
Begründung ergänzen: Wechselwinkel
AFB II
Mia begründet, warum an Parallelen die Wechselwinkel δ und β′ gleich groß sind. Setze die Fachbegriffe richtig ein.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
δ und β liegen sich an der Kreuzung bei g gegenüber; sie sind und deshalb . β und β′ liegen an beiden Kreuzungen an derselben Stelle; sie sind . Weil g und h sind, gilt β = β′. Also ist δ = β′ — und das Paar δ, β′ heißt
„Nebenwinkel“ bleibt übrig: δ und β liegen nicht nebeneinander an derselben Geraden, sondern über Kreuz — sie ergeben nicht 180°, sondern sind gleich groß. Die Begründung verknüpft einen Scheitelwinkel-Schritt mit einem Stufenwinkel-Schritt.
Ansatz: Welche Winkel liegen sich an einer Kreuzung gegenüber, welche liegen an derselben Stelle?
A6
Mix: Kreisdiagramm mit zwei Durchmessern
AFB II
Hier kommt das Kreisdiagramm zurück. Zwei Durchmesser teilen ein Kreisdiagramm in vier Ausschnitte. Ein Ausschnitt hat einen Mittelpunktswinkel von 36°. Welchen Anteil in Prozent hat sein Nachbarausschnitt „?“?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Durchmesser sind zwei Geraden, die sich in M kreuzen. Der Nachbarausschnitt ist Nebenwinkel von 36°: 180° − 36° = 144°. Anteil: 144° : 3,6° = 40 %. Wer 180° − 36° als Prozentzahl liest, landet bei 144 % — mehr als das Ganze.
Ansatz: Die beiden Durchmesser kreuzen sich in M wie zwei Geraden. Wie hängen benachbarte Ausschnitte dann zusammen?
Rechenweg: Nebenwinkel: 180° − 36° = 144°. Dann in Prozent umrechnen: 1 % entspricht 3,6°.
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB II
g ∥ h, und an g ist α = 118°. Jonas hat die übrigen Winkel bestimmt. Drei seiner Sätze sind falsch.
Bezeichnung wie im Erklärteil: an g liegen α (oben rechts), β (oben links), γ (unten links) und δ (unten rechts); an h dieselben Stellen mit Strich: α′, β′, γ′, δ′.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten ist Zeile 3: Wer Stufenwinkel mit Nebenwinkeln verwechselt, rechnet „180° minus“, obwohl nichts abgezogen werden muss. Kontrolle: An jeder Kreuzung kommen genau zwei Größen vor — der Winkel und sein Nebenwinkel.
A8
Trickaufgabe: Parallel oder nicht?
AFB III
In der Skizze sind g und h nicht als parallel angegeben. Gemessen wurden α = 74° an g und β′ = 111° an h. Welche Aussagen sind sicher richtig?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
An jeder Kreuzung gelten Neben- und Scheitelwinkel: γ = α = 74°, δ = 106°, α′ = 180° − 111° = 69°, δ′ = β′ = 111°. Stufen- und Wechselwinkel sind nur an Parallelen gleich — hier sind δ = 106° und β′ = 111° verschieden, also schneiden sich g und h irgendwo. Die Skizze ist also nicht falsch, sondern zeigt genau das.
Ansatz: Welche Winkelsätze gelten an jeder Kreuzung, welche nur an Parallelen?
Rechenweg: Rechne an g alle vier Winkel aus α aus und an h alle vier aus β′. Vergleiche dann δ mit β′.
A9
Sind g und h parallel?
AFB III
Lina misst an g den Winkel β = 124° und an h den Winkel γ′ = 56° (Bezeichnung wie im Erklärteil). Entscheide Schritt für Schritt, ob g und h parallel sind.
Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.
Der Trick liegt im ersten Schritt: 124° und 56° sehen verschieden aus, gehören aber zu verschiedenen Stellen. Erst über den Nebenwinkel γ = 56° wird ein echtes Stufenwinkelpaar daraus — und gleiche Stufenwinkel beweisen die Parallelität.
A10
Die Schnittgerade kippt
AFB III
g ∥ h, und an g ist α = 60°. Nun wird s gekippt, sodass α um 10° größer wird. Schätze für jede Größe ein, wie sie sich ändert — ohne zu messen.
Bezeichnung wie im Erklärteil: an g liegen α (oben rechts), β (oben links), γ (unten links) und δ (unten rechts); an h dieselben Stellen mit Strich: α′, β′, γ′, δ′.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = nimmt um 20° ab, 2 = nimmt um 10° ab, 3 = bleibt gleich, 4 = nimmt um 10° zu, 5 = nimmt um 20° zu. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = nimmt um 20° ab5 = nimmt um 20° zu
β
α + γ
α + β
δ + β′
α′
Wird α um 10° größer, wird sein Nebenwinkel β um 10° kleiner — die Summe α + β bleibt 180°. γ wächst mit α (Scheitelwinkel), also wächst α + γ doppelt. δ und β′ sind beide so groß wie β, also nimmt ihre Summe um 20° ab. α′ ist Stufenwinkel und macht jede Änderung von α mit.
Ansatz: Sortiere zuerst: Welche Winkel sind so groß wie α, welche so groß wie β?
