Zwei Geraden kreuzen sich
Im Schnittpunkt zweier Geraden liegen vier Winkel — je zwei davon hängen fest zusammen.
- Bezeichnung:gegen den Uhrzeigersinn α, β, γ, δ — α oben rechts, β oben links, γ unten links, δ unten rechts.
- Nebenwinkel:liegen nebeneinander an derselben Geraden, z. B. α und β; zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel (180°).
- Scheitelwinkel:liegen sich am Schnittpunkt gegenüber, z. B. α und γ; sie sind gleich groß.
Herleitung:
Neben- und Scheitelwinkel: \(\alpha+\beta=180^\circ\) und \(\alpha=\gamma\)
Parallelen schneiden
Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden g und h, entstehen zwei Kreuzungen mit denselben vier Winkeln.
- Stufenwinkel:liegen an beiden Kreuzungen an derselben Stelle, z. B. α und α′ (beide oben rechts) — Form eines „F“.
- Wechselwinkel:liegen über Kreuz auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden, z. B. δ und β′ zwischen den Parallelen — Form eines „Z“; ebenso α und γ′.
- An Parallelen:Stufenwinkel sind gleich groß, Wechselwinkel auch.
- Umgekehrt:Sind Stufen- oder Wechselwinkel gleich groß, dann sind g und h parallel.
Schiebe die obere Kreuzung mit dem Regler oder „Abspielen“ an der Schnittgeraden entlang auf die untere. Ziehe P, um die Schnittgerade zu kippen, klicke einen Winkel oben an und stelle auf „Drehen um 180°“ um.
Halte fest: Die verschobene Kreuzung passt genau auf die untere — Stufenwinkel sind gleich groß. Nach einer halben Drehung liegen die Wechselwinkel aufeinander.
An Parallelen: Stufenwinkel \(\alpha=\alpha'\), Wechselwinkel \(\delta=\beta'\)
Allgemeine Hinweise
Nur an Parallelen gleich groß
Stufen- und Wechselwinkel gibt es an jeder Doppelkreuzung. Gleich groß sind sie aber nur, wenn g und h parallel sind.
F und Z suchen
Stufenwinkel stecken in einem „F“, Wechselwinkel in einem „Z“ — auch gespiegelt, gedreht oder schräg.
Ein Winkel reicht
Ist an einer Kreuzung ein Winkel 70°, dann sind die anderen \(110^\circ\), \(70^\circ\) und \(110^\circ\) — zweimal der Winkel, zweimal sein Nebenwinkel.