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Winkel an Geradenkreuzungen

Schräge Parkbuchten und ein Zickzack-Geländer: zwei Sachaufgaben, in denen parallele Linien die Winkel verraten.

1

Schräg einparken

AFB I–II

Auf dem Lehrerparkplatz sind die Parkbuchten schräg markiert, damit man leichter einparken kann. Die Linien p1 bis p4 sind parallel. Vorne begrenzt die Bordsteinkante k die Buchten, hinten die Linie m; k und m sind ebenfalls parallel.

Die Linie p1 schließt mit k den Winkel α = 62° ein (siehe Skizze).

Schräge Parkbuchten (Skizze, nicht maßstäblich)
kmp1p2p3p4α = 62°βγ
k ∥ m und p1 ∥ p2 ∥ p3 ∥ p4
  1. Gib die Größe der Winkel β und γ an.
  2. Begründe deine Angaben aus a) mit Winkelsätzen.
  3. Für eine fünfte Bucht zeichnet der Hausmeister eine Linie p5. Er misst zwischen p5 und k auf derselben Seite wie α einen Winkel von 60°. Überprüfe, ob p5 parallel zu den anderen Parklinien ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
β liegt links neben p3, γ oben an der Linie m. Welcher Winkel an p1 liegt „an derselben Stelle“ wie β?
Hinweis zu Aufgabe b)
Für β brauchst du zwei Schritte: erst einen Nebenwinkel an p1, dann einen Stufenwinkel. Für γ suche das „Z“ zwischen k und m.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denk an die Umkehrung: Wann darf man aus Winkeln auf „parallel“ schließen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

β = 118° und γ = 62°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

β: Der Nebenwinkel von α an p1 ist 180° − 62° = 118°. Weil p1 ∥ p3 ist und k beide schneidet, ist β sein Stufenwinkel, also β = 118°.

γ: Am unteren Ende von p2 ist der Winkel zwischen k (nach rechts) und p2 ebenfalls 62° (Stufenwinkel zu α, p1 ∥ p2). Da k ∥ m, sind dieser Winkel und γ Wechselwinkel an der Geraden p2 („Z“-Form) — also γ = 62°.

Vollständig ist die Begründung, wenn jeder Schritt den Winkelsatz nennt und bei Stufen- und Wechselwinkeln gesagt wird, welche Geraden parallel sind.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

p5 und p4 werden beide von k geschnitten. Die Winkel an derselben Stelle wären Stufenwinkel: 60° bei p5, 62° bei p4. Weil sie nicht gleich groß sind, ist p5 nicht parallel zu p4 (und damit zu keiner Parklinie).

Folge: Die Bucht zwischen p4 und p5 wird nach hinten hin schmaler oder breiter — weit verlängert würden sich die Linien schneiden. Die 2° Unterschied sind klein, aber nicht „fast parallel“.

2

Das Zickzack-Geländer

AFB II–III

Das Geländer einer Fußgängerbrücke besteht aus einem oberen Gurt o und einem unteren Gurt u, die parallel verlaufen. Dazwischen sind gerade Streben im Zickzack verschweißt: von A nach oben zu B, von B nach unten zu C, von C wieder nach oben zu D und so weiter.

Die Monteurin misst bei A zwischen u und der Strebe AB einen Winkel von 52° und bei B zwischen o (nach rechts) und der Strebe BC einen Winkel von 60°.

Zickzack-Geländer der Brücke (Skizze, nicht maßstäblich)
ou52°60°ε₁ε₂?ABCD
o ∥ u; die Streben AB, BC, CD … sind gerade Stahlstäbe
  1. Ermittle die Winkel ε₁ und ε₂ bei B.
  2. Erkläre, warum der Winkel „?“ bei C zwischen u (nach links) und der Strebe BC genau 60° groß ist.
  3. Tim behauptet: „Die Winkel bei A und bei B zwischen Gurt und Strebe AB wären auch dann gleich groß, wenn die Gurte nicht parallel wären — die Strebe ist ja dieselbe.“ Widerlege Tims Behauptung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
ε₁, ε₂ und der 60°-Winkel liegen bei B nebeneinander an der Geraden o. Für ε₁ hilft der 52°-Winkel bei A.
Hinweis zu Aufgabe b)
Suche das „Z“, das die Strebe BC mit den beiden Gurten bildet.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ein Gegenbeispiel genügt. Stell dir vor, der obere Gurt wird ein kleines Stück gekippt: Was passiert mit dem Winkel bei B, was mit dem bei A?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

ε₁ = 52°: ε₁ und der Winkel bei A sind Wechselwinkel an der Strebe AB, und o ∥ u.

ε₁ + ε₂ + 60° bilden bei B zusammen einen gestreckten Winkel: ε₂ = 180° − 52° − 60° = 68°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Strebe BC schneidet die beiden parallelen Gurte o und u. Der 60°-Winkel bei B (zwischen o nach rechts und BC) und der Winkel „?“ bei C (zwischen u nach links und BC) liegen über Kreuz auf verschiedenen Seiten der Strebe und zwischen den Gurten — sie sind Wechselwinkel. An Parallelen sind Wechselwinkel gleich groß, also „?“ = 60°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gegenbeispiel: Kippt man den oberen Gurt o um 10° (er steigt nach rechts an), bleibt der Winkel bei A 52°, weil sich an u und AB nichts ändert. Der Winkel ε₁ bei B zwischen o und AB ändert sich aber um 10° — er wird 42° oder 62°, je nach Kipprichtung. Also sind die beiden Winkel nicht mehr gleich groß.

Allgemein: Wechselwinkel sind nur an Parallelen gleich groß. Nach der Umkehrung gilt sogar: Wären sie gleich groß, müssten die Gurte parallel sein. Tims Behauptung ist damit widerlegt; eine Skizze mit gekipptem Gurt und den beiden Winkeln gehört zur vollständigen Antwort.