Symmetrie im Straßenverkehr
AFB I–IIAuf ihrem Schulweg kommt Mila an fünf Verkehrszeichen vorbei. Sie sind unten vereinfacht gezeichnet: ① ist ein gelbes Quadrat mit weißem Rand, das auf der Spitze steht. ② ist ein gleichseitiges Dreieck mit rotem Rand, dessen Spitze nach unten zeigt. ③ ist ein blauer Kreis mit drei gleichen weißen Pfeilen, die alle gegen den Uhrzeigersinn im Kreis herumzeigen. ④ ist ein blaues Rechteck mit einem weißen Pfeil nach rechts. ⑤ ist ein roter Kreis mit einem weißen, waagerechten Balken in der Mitte.
Betrachte jedes Schild mit seinen Farben als Figur.
- Gib für jedes der fünf Schilder die Anzahl seiner Spiegelachsen an.
- Ordne jedem drehsymmetrischen Schild seinen kleinsten Drehwinkel zu. Gib außerdem an, welche Schilder punktsymmetrisch sind.
- Erkläre, warum das Kreisverkehr-Schild ③ drehsymmetrisch ist, aber keine einzige Spiegelachse hat.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
① 4 Achsen (beide Diagonalen der Raute und die zwei Geraden durch die Mitten gegenüberliegender Seiten), ② 3 Achsen (je durch eine Ecke und die Mitte der Gegenseite), ③ 0 Achsen, ④ 1 Achse (die waagerechte Mittellinie – die senkrechte nicht, denn der Pfeil zeigt nur nach rechts), ⑤ 2 Achsen (waagerecht und senkrecht durch die Mitte).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
① 360° : 4 = 90°, ② 360° : 3 = 120°, ③ drei gleiche Pfeile: 360° : 3 = 120°, ⑤ 180° (der Balken passt erst nach einer halben Drehung wieder). ④ ist nicht drehsymmetrisch: Nach 180° zeigt der Pfeil nach links.
Punktsymmetrisch sind ① (180° = 2 · 90°) und ⑤. ② und ③ sind es nicht, weil 180° kein Vielfaches von 120° ist – das Dreieck stünde nach 180° auf dem Kopf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Dreht man das Schild um 120° um den Mittelpunkt, landet jeder Pfeil genau auf dem nächsten – das Bild passt, das Schild ist drehsymmetrisch. Beim Umklappen an einer Geraden würden die Pfeile dagegen im Uhrzeigersinn zeigen: Der Drehsinn kehrt sich beim Spiegeln um. Deshalb passt das gespiegelte Bild nicht auf das Original, egal wo die Gerade liegt. Vollständig ist die Antwort, wenn beide Teile (Drehung passt, Spiegelung kehrt die Pfeilrichtung um) genannt sind.
Ein Mosaik für den Schulhof
AFB II–IIIDie Kunst-AG plant ein Bodenmosaik aus Natursteinen für den Schulhof. Auf ihrem Plan (Karopapier, 1 Kästchen entspricht 20 cm) liegt der Mittelpunkt M bei (6 | 6). Die fertige Figur soll achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden s₁ durch M und zur waagerechten Geraden s₂ durch M sein.
Gezeichnet ist bisher nur das Viertel oben links: der Streckenzug M(6 | 6) – S(6 | 11) – T(3 | 9) – U(1 | 6) – M. Die Strecken auf den Achsen (MS und MU) sind nur Hilfslinien, die Außenkante des Mosaiks bilden die Strecken ST und TU und ihre Spiegelbilder.
- Ermittle die Koordinaten aller Eckpunkte der fertigen Außenkante. Gib an, wie viele Ecken sie hat und wie breit das Mosaik in Wirklichkeit ist.
- Untersuche, ob die fertige Figur punktsymmetrisch ist, und gib gegebenenfalls ihr Symmetriezentrum an.
- Jonas schlägt vor: „Wir brauchen die zweite Achse gar nicht. Wir spiegeln das Viertel an s₁ und drehen das Ergebnis dann um 180° um M – dann kommt dieselbe Figur heraus.“ Beurteile Jonas’ Vorschlag.
- Das Mosaik wird in die acht Dreiecke zerlegt, die M mit je zwei benachbarten Ecken bildet. Jedes Dreieck bekommt rote oder blaue Steine. Entwickle eine Färbung, bei der das Mosaik punktsymmetrisch bleibt, aber keine einzige Spiegelachse mehr hat, und begründe sie.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Spiegelung an s₁: T(3 | 9) → (9 | 9), U(1 | 6) → (11 | 6); S bleibt. Spiegelung an s₂: S(6 | 11) → (6 | 1), T(3 | 9) → (3 | 3), (9 | 9) → (9 | 3).
Außenkante im Umlauf: S(6 | 11), (9 | 9), (11 | 6), (9 | 3), (6 | 1), (3 | 3), U(1 | 6), T(3 | 9) – also 8 Ecken (M liegt innen und ist keine Ecke). Breite von U bis (11 | 6): 10 Kästchen · 20 cm = 200 cm = 2 m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ja, die Figur ist punktsymmetrisch mit dem Zentrum M(6 | 6). Jeder Eckpunkt hat genau gegenüber von M im gleichen Abstand einen Partner: S(6 | 11) ↔ (6 | 1), T(3 | 9) ↔ (9 | 3), U(1 | 6) ↔ (11 | 6), (9 | 9) ↔ (3 | 3); M ist jeweils die Mitte der Verbindungsstrecke. Begründung auch allgemein möglich: Zwei zueinander senkrechte Spiegelachsen ergeben zusammen eine halbe Drehung um ihren Schnittpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Jonas hat recht. Nach der Spiegelung an s₁ ist die obere Hälfte fertig: S, T(3 | 9), (9 | 9), U, (11 | 6). Die halbe Drehung um M bringt jeden Punkt (x | y) nach (12 − x | 12 − y): T(3 | 9) → (9 | 3), (9 | 9) → (3 | 3), S → (6 | 1). Das sind genau die Punkte der unteren Hälfte aus a).
Das klappt, weil die obere Hälfte bereits zu s₁ symmetrisch ist: Dann ist „um 180° drehen“ dasselbe wie „an s₂ spiegeln“. Hätte man das Viertel ohne vorherige Spiegelung an s₁ gedreht, entstünden nur zwei gegenüberliegende Viertel. Vollständig: Urteil + Rechnung an mindestens einem Punkt + Hinweis auf diese Bedingung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Eine Lösung: die acht Dreiecke im Kreis herum abwechselnd rot und blau färben (Windrad-Muster). Bei der halben Drehung um M rückt jedes Dreieck um vier Plätze weiter – vier ist gerade, also landet Rot auf Rot: punktsymmetrisch. Jede der vier Spiegelachsen (s₁, s₂ und die beiden schrägen Achsen durch T und durch (9 | 9)) tauscht unter anderem zwei benachbarte Dreiecke gegeneinander aus; die haben verschiedene Farben – keine Achse bleibt erhalten.
Andere Lösungen sind richtig, wenn gilt: gegenüberliegende Dreiecke gleich gefärbt, und bei jeder der vier Achsen mindestens ein Paar mit verschiedenen Farben. Einfach nur zwei gegenüberliegende Viertel rot zu färben reicht nicht: Die schräge Achse durch diese beiden Viertel bliebe erhalten.