Gleich weit von zwei Punkten, gleich weit von zwei Schenkeln: Zehn Übungen zu den beiden Halbierungs-Linien.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen, von AFB I bis AFB III — zum Kreuzen, Sortieren, Zuordnen, Rechnen und Begründen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Lückentext: die Mittelsenkrechte
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB steht auf AB und geht durch ihre M. Jeder Punkt auf ihr ist von A und von B entfernt. Zum Konstruieren stellt man den Zirkel auf einen Radius ein, der größer ist als die von AB, und schlägt mit Radius je einen Bogen um A und um B
„parallel“ bleibt übrig: Die Mittelsenkrechte schneidet AB im rechten Winkel — parallel zu AB könnte sie AB gar nicht in der Mitte treffen. Und der Radius muss größer als die halbe Strecke sein, sonst treffen sich die Bögen nicht.
A2
Wo liegt der Punkt?
AFB I
Gegeben ist die Strecke AB mit A(2|1) und B(6|1). Sortiere die Punkte: Liegen sie auf der Mittelsenkrechten von AB, näher an A oder näher an B?
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1auf der Mittelsenkrechten
2näher an A
3näher an B
Die Mittelsenkrechte von AB ist hier die senkrechte Gerade durch M(4|1), also alle Punkte mit x = 4. Links davon (x < 4) liegt man näher an A, rechts davon näher an B — egal wie hoch der Punkt liegt. Typischer Fehler: (3|6) wegen der großen Höhe für „gleich weit“ halten.
Bestimme zuerst die Mitte M von AB. Die Mittelsenkrechte steht dort senkrecht auf der waagerechten Strecke.
Bei Koordinaten entscheidet nur die x-Koordinate: kleiner, gleich oder größer als 4?
A3
Winkelhalbierende konstruieren — Reihenfolge
AFB I
Bringe die Schritte zur Konstruktion der Winkelhalbierenden eines Winkels mit Scheitel S in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Einen Kreisbogen um S zeichnen; er schneidet die Schenkel in D und E.
2Mit einem festen Radius je einen Bogen um D und um E zeichnen.
3Den Schnittpunkt W dieser beiden Bögen im Innern des Winkels markieren.
4Die Halbgerade von S durch W zeichnen.
5Probe: beide Teilwinkel messen — sie müssen gleich groß sein.
Am häufigsten verrutscht Schritt 2: Die Bögen um D und E brauchen denselben Radius — wer den Zirkel dazwischen verstellt, bekommt eine schiefe Linie. Der Radius muss aber nicht derselbe sein wie beim ersten Bogen um S.
Bevor du um D und E Bögen schlagen kannst, müssen D und E erst einmal existieren.
Die Probe kommt immer ganz am Ende.
A4
Mittelsenkrechte oder Winkelhalbierende?
AFB II
Welche Eigenschaft gehört nur zur Mittelsenkrechten, welche nur zur Winkelhalbierenden, welche zu beiden?
Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Mittelsenkrechte
2 beide
3 nur Winkelhalbierende
Beide Linien sind „Gleich-weit-Linien“ — aber mit verschiedenem Bezug: Die Mittelsenkrechte misst den Abstand zu zwei Punkten, die Winkelhalbierende den Abstand zu zwei Schenkeln (mit dem Lot). Die Mittelsenkrechte ist eine ganze Gerade, die Winkelhalbierende startet im Scheitel.
Frage bei jeder Karte: Kommt darin eine Strecke AB vor oder ein Winkel mit Scheitel und Schenkeln?
Beim Konstruieren schlägt man bei beiden Verfahren zwei Bögen mit gleichem Radius.
A5
Mix: Winkelhalbierende und Nebenwinkel
AFB II
Ein Winkel α = 124° hat an der Geraden durch S einen Nebenwinkel β. Beide werden halbiert (gestrichelt). Hier brauchst du den Nebenwinkelsatz aus dem Kapitel „Winkel an Geradenkreuzungen“.
Skizze nicht maßstäblich
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Winkel zwischen wα und dem rechten Teil der Geraden°
Nebenwinkel β°
Winkel zwischen wβ und dem linken Teil der Geraden°
Winkel zwischen den beiden Winkelhalbierenden wα und wβ°
124° : 2 = 62°, β = 180° − 124° = 56°, 56° : 2 = 28°. Zwischen den Halbierenden liegen die beiden „inneren“ Hälften: 62° + 28° = 90°. Das ist kein Zufall: α + β = 180°, also ergeben die Hälften immer 90° — die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln stehen senkrecht aufeinander.
Die Winkelhalbierende teilt α in zwei gleiche Hälften. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
Zwischen wα und wβ liegen die Hälfte von α, die an den Schenkel grenzt, und die Hälfte von β, die an denselben Schenkel grenzt.
A6
Mix: Welche Linie sucht man?
AFB II
Im Stadtpark sollen Dinge aufgestellt werden. Verbinde jede Bedingung mit der Linie oder Fläche, auf der alle passenden Orte liegen. Hier hilft auch der Kreis als Ortslinie.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Jede Bedingung „genau so weit weg“ hat ihre eigene Linie: von einem Punkt → Kreis, von zwei Punkten gleich weit → Mittelsenkrechte, von einer Geraden → Parallele, von zwei Geraden gleich weit → Winkelhalbierende. „Höchstens“ macht aus der Linie eine Fläche.
Frage dich jedes Mal: Von was wird der Abstand gemessen — von einem Punkt, zwei Punkten, einer Geraden oder zwei Geraden?
„genau 4 m“ ist eine Linie, „höchstens 4 m“ eine ganze Fläche.
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB II
Sechs Sätze aus Emmas Heft — drei davon sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Klassenarbeiten am häufigsten: der Abstand zum Schenkel. Er wird immer mit dem Lot gemessen, nie entlang einer schrägen Strecke. Satz 5 würde bedeuten, dass Punkte auf einem Kreis um S alle „gleich weit von beiden Schenkeln“ wären — das stimmt nicht.
Prüfe jeden Satz an einer kleinen Skizze. Achte besonders auf das Wort „Abstand“.
Wie lang ist die halbe Strecke bei 6 cm? Reicht ein Radius von 2 cm dafür?
A8
Punkte auf einer schrägen Mittelsenkrechten
AFB III
Gegeben sind A(1|2) und B(5|6) (orange). Die Strecke AB liegt schräg — also auch ihre Mittelsenkrechte. Setze drei Punkte.
Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.
M(3|4) ist die Mitte: jeweils der Mittelwert der Koordinaten. AB steigt pro Kästchen nach rechts um eins, die Mittelsenkrechte läuft deshalb „über Kreuz“: pro Kästchen nach rechts eins nach unten. Von M aus: (4|3), (5|2), (6|1), S(7|0) — und nach links oben: (2|5), T(1|6). Probe für T: Von T(1|6) nach A(1|2) sind es 4 Kästchen senkrecht, nach B(5|6) 4 Kästchen waagerecht — gleich weit.
x-Koordinate von M: Mitte zwischen 1 und 5; y-Koordinate: Mitte zwischen 2 und 6.
Von A nach B: 1 nach rechts, 1 nach oben. Senkrecht dazu: 1 nach rechts, 1 nach unten.
A9
Trickaufgabe: Wie viele Punkte?
AFB III
Die Strecke AB ist 6 cm lang. Wie viele Punkte gibt es, die von A und B gleich weit entfernt sind und von A genau 3 cm Abstand haben?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Punkte mit gleichem Abstand zu A und B liegen auf der Mittelsenkrechten, die Punkte mit 3 cm Abstand zu A auf dem Kreis um A mit r = 3 cm. Die Mittelsenkrechte ist aber genau 3 cm von A entfernt (sie geht durch M) — der Kreis berührt sie nur in M. Es gibt also genau einen Punkt: M. Wer „2“ antwortet, denkt an den üblichen Fall mit größerem Radius.
Zeichne beide Ortslinien: die Mittelsenkrechte von AB und den Kreis um A mit r = 3 cm.
Wie weit ist der Punkt M von A entfernt? Und wie weit sind alle anderen Punkte der Mittelsenkrechten von A entfernt?
A10
Stimmt's? — Knifflige Fälle
AFB III
Fünf Behauptungen, bei denen du genau nachdenken musst.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende hängen nur an der Strecke bzw. am Winkel — nicht am Zirkelradius und nicht an der Reihenfolge der Buchstaben. Und „gleich weit“ heißt in der Mathematik: exakt gleich.
