Ein Kiosk zwischen zwei Haltestellen
AFB I–IIAn der Hauptstraße liegen die Bushaltestellen A und B, 600 m voneinander entfernt. Die Stadt möchte einen Kiosk bauen, der von beiden Haltestellen gleich weit entfernt ist, damit die Fahrgäste beider Linien gleich lange Wege haben. Für die Planung wird eine Karte im Maßstab 1 cm ≙ 100 m gezeichnet.
- Gib an, auf welcher Linie alle Orte liegen, die von beiden Haltestellen gleich weit entfernt sind.
- Beschreibe, wie man diese Linie in der Karte mit Zirkel und Lineal konstruiert. Nenne dabei eine passende Zirkelöffnung.
- Der Kiosk soll außerdem direkt am Radweg stehen, der im Abstand von 400 m parallel zur Hauptstraße verläuft. Ermittle durch Konstruktion und Messen in deiner Karte, wie weit der Kiosk von jeder Haltestelle entfernt ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Alle solchen Orte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(\overline{AB}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(600\text{ m}\) ≙ \(6\text{ cm}\). 1. \(\overline{AB}=6\) cm zeichnen. 2. Zirkel auf mehr als die Hälfte einstellen, also mehr als 3 cm, z. B. \(4\) cm. 3. Mit demselben Radius je einen Bogen um A und um B schlagen, oberhalb und unterhalb der Strecke. 4. Die beiden Schnittpunkte der Bögen mit dem Lineal verbinden — das ist die Mittelsenkrechte; sie geht durch die Mitte M und steht senkrecht auf \(\overline{AB}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Radweg ist in der Karte eine Parallele zu \(\overline{AB}\) im Abstand \(4\) cm. Sie schneidet die Mittelsenkrechte 4 cm über M. Gemessen: Kiosk–A = Kiosk–B = \(5\) cm (Toleranz etwa ±1 mm). Mit dem Maßstab: \(5\cdot 100\text{ m}=500\text{ m}\). Der Kiosk ist von jeder Haltestelle etwa 500 m entfernt — gleich weit, weil er auf der Mittelsenkrechten liegt.
Die Bank an der Wegkreuzung
AFB II–IIIIm Park treffen sich zwei gerade Wege an der Kreuzung S unter einem Winkel von 70°. Weg 1 führt über die Kreuzung hinaus geradeaus weiter. Zwischen den beiden Wegen, auf der Wiese im 70°-Winkel, soll eine Bank aufgestellt werden. Sie soll von beiden Wegen gleich weit entfernt sein, damit man von beiden Seiten gleich schnell hinkommt.
- Erläutere, warum die Bank auf der Winkelhalbierenden des 70°-Winkels stehen muss. Gib dabei an, wie der Abstand zu einem Weg gemessen wird.
- Berechne den Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und der Verlängerung von Weg 1 über die Kreuzung hinaus.
- Tom schlägt vor: „Wir stellen die Bank einfach 20 m von der Kreuzung S entfernt auf — dann ist sie automatisch von beiden Wegen gleich weit weg.“ Nimm Stellung zu Toms Vorschlag.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die beiden Wege sind die Schenkel eines 70°-Winkels mit Scheitel S. Der Abstand der Bank zu einem Weg ist die Länge des Lotes von der Bank auf den Weg (kürzeste Verbindung). Alle Punkte, deren Lote zu beiden Schenkeln gleich lang sind, liegen auf der Winkelhalbierenden. Also muss die Bank auf ihr stehen — wo genau, ist noch frei wählbar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Winkelhalbierende bildet mit Weg 1 den Winkel \(70^\circ:2=35^\circ\). Mit der Verlängerung bildet sie den Nebenwinkel: \(180^\circ-35^\circ=145^\circ\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Tom hat nicht recht. Alle Punkte, die 20 m von S entfernt sind, liegen auf einem Kreis um S mit \(r=20\) m. Nur einer dieser Punkte in der Wiese liegt auch auf der Winkelhalbierenden. Gegenbeispiel: Ein Punkt auf Weg 1, 20 m von S entfernt, hat zu Weg 1 den Abstand 0 m, zu Weg 2 aber deutlich mehr. Tom verwechselt den Abstand zum Scheitel mit dem Abstand zu den Wegen. Sein Vorschlag funktioniert nur, wenn man den Punkt im Abstand 20 m auf der Winkelhalbierenden wählt. Vollständig ist die Stellungnahme mit Urteil, Gegenbeispiel und Verbesserungsvorschlag.