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Der Kreis als Ortslinie

Wie weit spritzt der Sprenger, wo darf der Eiswagen stehen? Mit dem Kreis als Ortslinie findest du alle passenden Orte auf einmal.

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Der Rasensprenger

AFB I–II

Familie Yilmaz hat einen rechteckigen Garten, 12 m lang und 8 m breit. Genau in der Mitte steht ein Rasensprenger S, der sich im Kreis dreht und das Wasser bis zu 4 m weit spritzt. Im Garten stehen ein Liegestuhl (3,5 m von S entfernt), ein Sandkasten (6 m von S), ein Rosenstrauch (genau 4 m von S) und die Tür des Gartenhauses (450 cm von S).

Der Garten von oben
S12 m8 m
Braun: Zaun. S: Rasensprenger genau in der Mitte des Gartens.
  1. Beschreibe mit Fachbegriffen, welcher Teil des Gartens nass wird.
  2. Ordne die vier Gegenstände zu: Werden sie nass, gerade noch getroffen oder bleiben sie trocken?
  3. Zeichne den Garten und den nassen Bereich ins Heft (1 cm im Heft steht für 1 m) und gib an, ob der Zaun nass wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Punkte erreicht das Wasser genau noch, welche erreicht es auch?
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche jeden Abstand mit der Reichweite. Achtung: Eine Angabe ist in cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Mitte des Rechtecks findest du mit den Diagonalen. Wie weit ist S von den langen und von den kurzen Seiten entfernt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nass wird die Kreisfläche um S mit dem Radius r = 4 m (Durchmesser 8 m). Den Rand bildet die Kreislinie: Punkte, die genau 4 m von S entfernt sind, werden gerade noch getroffen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Liegestuhl: 3,5 m < 4 m, wird nass. Rosenstrauch: genau 4 m, liegt auf der Kreislinie und wird gerade noch getroffen. Sandkasten: 6 m > 4 m, bleibt trocken. Gartenhaustür: 450 cm = 4,5 m > 4 m, bleibt trocken.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Rechteck 12 cm × 8 cm, S im Schnittpunkt der Diagonalen, Kreis um S mit r = 4 cm.

S ist von den langen Seiten 8 m : 2 = 4 m entfernt: Der Kreis berührt beide langen Zaunseiten in genau einem Punkt – dort wird der Zaun gerade noch nass. Von den kurzen Seiten ist S 12 m : 2 = 6 m entfernt; dort bleibt der Zaun trocken.

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Der Eiswagen beim Sommerfest

AFB II–III

Beim Sommerfest der Schule werden 300 Gäste erwartet. Der Eiswagen soll so stehen, dass er höchstens 50 m von der Bühne B entfernt ist (damit man die Musik hört) und höchstens 40 m vom Eingang E (damit ihn alle Ankommenden sehen). Bühne und Eingang sind 70 m voneinander entfernt.

Der Schulhof beim Sommerfest (nicht maßstäblich)
Bühne BEingang E70 m
Bühne und Eingang liegen 70 m auseinander.
  1. Erläutere, warum alle Plätze, die höchstens 50 m von der Bühne entfernt sind, eine Kreisfläche bilden.
  2. Ermittle zeichnerisch (1 cm steht für 10 m), wo der Eiswagen stehen darf. Prüfe dabei, ob der Platz genau in der Mitte zwischen Bühne und Eingang erlaubt ist.
  3. Nimm Stellung zu Toms Aussage: „Egal, wie weit Bühne und Eingang auseinanderliegen – irgendwo findet der Eiswagen immer einen Platz.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Denk an die Ortslinie: Welche Punkte sind genau 50 m entfernt, welche weniger?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zeichne beide Bedingungen als Kreise. Der Eiswagen muss beide gleichzeitig erfüllen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterium: Wann erreichen sich die beiden Kreise überhaupt noch? Vergleiche die beiden Radien zusammen mit dem Abstand von B und E.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Alle Punkte, die genau 50 m von B entfernt sind, liegen auf der Kreislinie um B mit r = 50 m. Punkte mit weniger als 50 m Abstand liegen innerhalb. „Höchstens 50 m“ umfasst beides – das ist die Kreisfläche um B mit r = 50 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Strecke BE = 7 cm zeichnen. Kreis um B mit r = 5 cm, Kreis um E mit r = 4 cm. Erlaubt ist der Bereich, der in beiden Kreisflächen liegt – das linsenförmige Stück, in dem sich die Kreise überlappen (5 cm + 4 cm = 9 cm > 7 cm, also gibt es eine Überlappung).

Mitte: 35 m von B (≤ 50 m) und 35 m von E (≤ 40 m) – der Platz ist erlaubt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Tom hat nicht recht. Die beiden Kreise reichen zusammen nur 50 m + 40 m = 90 m weit. Liegen Bühne und Eingang weiter als 90 m auseinander (z. B. 100 m), überlappen sich die Kreisflächen nicht, und es gibt keinen erlaubten Platz. Bei genau 90 m gibt es nur einen einzigen Punkt auf der Strecke BE.

Vollständig: Urteil, Begründung mit der Summe der Radien und ein Gegenbeispiel.