Fliesen für den Werkraum
AFB I–IIFür eine Wand im Werkraum bestellt Frau Kaya vier Sorten Fliesen (Skizze). Fliese 1 hat vier gleich lange Seiten von 10 cm und einen Winkel von 60°. Fliese 2 ist 20 cm lang und 10 cm breit und hat vier rechte Winkel. Fliese 3 hat zwei 10-cm-Seiten, die oben aneinanderstoßen, und zwei 15-cm-Seiten, die unten aneinanderstoßen. Fliese 4 hat genau ein Paar paralleler Seiten und zwei rechte Winkel. Gleiche Striche bedeuten gleich lange Seiten, gleiche Pfeile parallele Seiten.
- Nenne für jede Fliese den Namen des untersten passenden Raums im Haus der Vierecke.
- Berechne die drei übrigen Winkel von Fliese 1.
- Der Händler hat nur noch Kartons mit der Aufschrift „Parallelogramm“. Ordne jede Fliese begründet ein: Darf sie in diesen Karton oder nicht?
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Fliese 1: Raute (vier gleich lange Seiten, keine rechten Winkel). Fliese 2: Rechteck (vier rechte Winkel, Seiten verschieden lang, also kein Quadrat). Fliese 3: Drachen (zwei Paare gleich langer Nachbarseiten). Fliese 4: Trapez (ein Paar paralleler Seiten).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Winkel gegenüber dem 60°-Winkel ist ebenfalls \(60^\circ\). Für die beiden anderen bleiben \(360^\circ-60^\circ-60^\circ=240^\circ\), sie sind gleich groß: \(240^\circ:2=120^\circ\). Die Winkel sind also \(60^\circ,\ 120^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ\). Probe: \(60^\circ+120^\circ+60^\circ+120^\circ=360^\circ\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Fliese 1 ja: Jede Raute ist ein Parallelogramm. Fliese 2 ja: Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm. Fliese 3 nein: Beim Drachen sind im Allgemeinen keine Seiten parallel. Fliese 4 nein: Das Trapez hat nur ein Paar paralleler Seiten. Vollständig ist die Antwort, wenn jede Entscheidung mit der Eigenschaft „zwei Paare paralleler Seiten“ begründet wird.
Flugdrachen für das Herbstfest
AFB II–IIIDie 6b baut für das Herbstfest Flugdrachen. Das Gestell besteht aus einer Längsleiste von 80 cm und einer Querleiste von 50 cm. Die Querleiste wird genau in ihrer Mitte und rechtwinklig auf die Längsleiste genagelt, und zwar 20 cm unterhalb der oberen Spitze. Danach wird eine Schnur straff um die vier Leistenenden gespannt; sie bildet den Rand des Drachens.
- Erläutere, warum die Schnur ein Drachenviereck bildet.
- Ermittle, an welcher Stelle der Längsleiste die Querleiste stattdessen befestigt werden müsste, damit die Schnur eine Raute bildet.
- Mia sagt: „Wenn ich zwei gleich lange Leisten von 60 cm nehme und sie genau in ihren Mitten zusammennagle, bekomme ich immer ein Quadrat.“ Nimm Stellung zu Mias Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Querleiste wird in ihrer Mitte und senkrecht befestigt. Faltet man den Drachen entlang der Längsleiste, fallen die beiden 25-cm-Hälften der Querleiste genau aufeinander. Damit ist das linke obere Schnurstück so lang wie das rechte obere und das linke untere so lang wie das rechte untere. Das Viereck hat also zwei Paare gleich langer Nachbarseiten — ein Drachen. Weil die Querleiste 20 cm unter der Spitze sitzt, sind die oberen Schnurstücke kürzer als die unteren; es ist also keine Raute.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für eine Raute müssen sich die Diagonalen gegenseitig halbieren (und senkrecht stehen). Die Querleiste muss also auch die Längsleiste halbieren: Sie gehört in die Mitte, \(80\text{ cm}:2=40\text{ cm}\) unterhalb der Spitze. Dann sind alle vier Schnurstücke gleich lang.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mia hat nur teilweise recht. Gleich lange Leisten, die sich in ihren Mitten kreuzen, sind Diagonalen, die gleich lang sind und sich halbieren — das ergibt sicher ein Rechteck. Ein Quadrat entsteht nur, wenn die Leisten zusätzlich senkrecht aufeinanderstehen. Mia muss also noch mit dem Geodreieck den rechten Winkel prüfen. Als vollständig gilt eine Antwort, die das Gegenbeispiel (schräg gekreuzte Leisten → Rechteck) nennt und die fehlende Bedingung angibt.