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Das Haus der Vierecke

Jedes Quadrat ist ein Rechteck — aber ist auch jedes Rechteck ein Quadrat?

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Vierecke nach Eigenschaften

Vierecke unterscheiden sich darin, welche Seiten parallel oder gleich lang sind und wo rechte Winkel liegen.

  • Diagonale:Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken, z. B. \(\overline{AC}\).
  • Trapez:mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten.
  • Parallelogramm:zwei Paare paralleler Gegenseiten; Gegenseiten gleich lang, die Diagonalen halbieren sich.
  • Drachen:zwei Paare gleich langer Nachbarseiten; die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
  • Raute:vier gleich lange Seiten.
  • Rechteck:vier rechte Winkel; die Diagonalen sind gleich lang.
  • Quadrat:vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
  • Zeichen:gleiche Striche = gleich lange Seiten, gleiche Pfeile = parallele Seiten, Bogen mit Punkt = rechter Winkel.

Herleitung:

\(\text{Viereck }ABCD=\triangle ABC+\triangle ACD\)
Diagonale AC
Die Diagonale \(\overline{AC}\) zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke; deren Winkel ergeben zusammen genau \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) und \(\delta\).
\(\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^\circ+180^\circ\)
Winkelsumme im Dreieck
In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme \(180^\circ\).
\(\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\)
Ergebnis
Gilt für jedes Viereck, auch für ein ganz unregelmäßiges.
Merke

Winkelsumme im Viereck: \(\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\)

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Das Haus lesen

Ganz oben im Haus wohnt das allgemeine Viereck; je weiter unten ein Raum liegt, desto mehr Eigenschaften hat sein Viereck.

Wähle eine Karte und dann den Raum, der am besten passt — mit Maus oder Finger, mit Tab und Enter oder mit den Zahltasten 1–7. Tippe ohne gewählte Karte auf einen Raum, um seine Eigenschaft und seine Pfeile zu sehen.

Vierecke einsortieren

    Halte fest: Jede Karte passt in mehrere Räume — richtig ist der unterste, denn dort stehen alle Eigenschaften, die sie hat.

    • Pfeil:von A nach B heißt „B ist ein besonderes A“ — B hat alle Eigenschaften von A und noch mehr.
    • Quadrat:ist Rechteck und Raute zugleich — und damit auch Parallelogramm, Drachen und Trapez.
    • Raute:ist ein besonderes Parallelogramm und ein besonderer Drachen.
    • Rechteck:ist ein besonderes Parallelogramm, aber kein Drachen.
    • Umgekehrt:gilt es nicht — nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
    Merke

    Haus der Vierecke: Ein Viereck hat alle Eigenschaften der Vierecke, von denen Pfeile zu ihm führen.

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    Allgemeine Hinweise

    Gedreht bleibt gleich

    Ein Quadrat, das auf der Spitze steht, ist immer noch ein Quadrat. Entscheide nach Seiten und Winkeln, nicht nach der Lage auf dem Blatt.

    „Ist ein“ gilt nur in eine Richtung

    Jedes Quadrat ist ein Rechteck. Ein Rechteck mit 6 cm und 3 cm Seitenlänge ist aber kein Quadrat.

    Vierten Winkel berechnen

    Sind drei Winkel bekannt, fehlt der Rest bis \(360^\circ\): \(360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=75^\circ\).

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