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Figuren konstruieren

Senkrechte, Parallele, Lot und Zirkel: Zehn Übungen, in denen jeder Handgriff sitzen muss.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen, von AFB I bis AFB III — zum Kreuzen, Sortieren, Zuordnen, Rechnen und Begründen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Rechteck konstruieren — Reihenfolge
AFB I

Mit dem Geodreieck soll ein Rechteck ABCD mit a = 7 cm und b = 4,5 cm entstehen. Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Die Strecke AB = 7 cm zeichnen.
2In A und in B mit der Mittellinie des Geodreiecks je eine Senkrechte zu AB zeichnen.
3Auf beiden Senkrechten 4,5 cm abtragen und die Punkte D und C markieren.
4C und D mit dem Lineal verbinden.
5Probe: DC nachmessen — es müssen wieder 7 cm sein.
Am häufigsten verrutscht Schritt 3 nach vorn: Wer 4,5 cm „irgendwie nach oben“ abträgt, bevor die Senkrechten stehen, bekommt schiefe Seiten — und damit höchstens ein Parallelogramm. Die Probe am Ende deckt genau diesen Fehler auf.
Du brauchst zuerst etwas, worauf du die Senkrechten errichten kannst.
Die Probe kommt immer zum Schluss — sie prüft die fertige Figur.
A2
Senkrecht, parallel, Abstand
AFB I

Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Abstand heißt immer: kürzeste Verbindung — und die ist das Lot. Die Mittellinie des Geodreiecks gehört zur Senkrechten, eine der feinen Hilfslinien zur Parallelen. Zwei Parallelen zu g sind selbst parallel, nicht senkrecht.
Zeichne zu jeder Aussage eine kleine Skizze mit g und P.
Mittellinie steht senkrecht auf der langen Kante, Hilfslinien laufen parallel zu ihr.
A3
Klick-Bild: Lot, Parallele, Senkrechte
AFB I

Im Bild siehst du die Gerade g, den Punkt P und sechs weitere Linien. Rechte Winkel sind absichtlich nicht markiert — entscheide nach Augenmaß oder lege dein Geodreieck an den Bildschirm.

Klicke das gesuchte Element an. Mit der Tastatur: Tab zum Wandern, Enter zum Auswählen.

gP
Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lotes — der senkrechten, kürzesten Strecke. Die leicht ansteigende Gerade ist die Falle: Sie sieht fast parallel aus, nähert sich g aber nach rechts immer mehr an. Parallel heißt: überall gleicher Abstand.
Von allen Strecken von P nach g ist das Lot die kürzeste.
Miss an zwei weit auseinanderliegenden Stellen den Abstand zu g — bei der Parallelen ist er gleich.
A4
Die dritte Seite
AFB II

Ein Dreieck soll die Seiten a = 5 cm und b = 8 cm haben. Die dritte Seite c soll eine ganze Zentimeterzahl sein. Wie lang darf c höchstens sein, damit sich die Zirkelbögen noch in einem echten Dreieckspunkt treffen?

Schiebe den Regler auf deine Antwort — die Pfeiltasten bewegen ihn in 1-cm-Schritten. Der Wert muss genau stimmen.
1 cm15 cm
Die längste Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen: c < 5 cm + 8 cm = 13 cm. Also ist 12 cm die größte ganze Zahl. Die Falle ist 13 cm: Dann liegt C genau auf AB, das Dreieck ist platt. (Nach unten gilt übrigens c > 8 cm − 5 cm = 3 cm.)
Nimm an, c ist die längste Seite. Was sagt die Dreiecksungleichung über c und a + b?
Was passiert, wenn c genau so lang ist wie a + b? Liegt C dann noch neben AB?
A5
Mix: Rechteck mit vorgegebenem Umfang
AFB II

Lena soll ein Rechteck konstruieren: Die Seite AB ist 6,5 cm lang, der Umfang soll 21 cm betragen. Bevor sie die Senkrechten zeichnet, rechnet sie.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. AB und CD zusammen cm
  2. die beiden Senkrechten AD und BC zusammen cm
  3. so viel trägt Lena auf jeder Senkrechten ab cm
  4. Flächeninhalt des fertigen Rechtecks cm²
U = 2 · a + 2 · b: 21 cm − 13 cm = 8 cm für beide Senkrechten, also b = 4 cm. Flächeninhalt: 6,5 cm · 4 cm = 26 cm². Typischer Fehler: 21 − 6,5 = 14,5 rechnen und dabei vergessen, dass AB im Umfang zweimal vorkommt.
Im Umfang eines Rechtecks kommt jede Seitenlänge zweimal vor.
Flächeninhalt Rechteck: Länge mal Breite — Einheit cm².
A6
Ziel und Handgriff
AFB II

Verbinde jedes Ziel mit dem Handgriff, der dorthin führt.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Merkhilfe: Mittellinie ↔ senkrecht, Hilfslinie ↔ parallel. Der Zirkel ist das Werkzeug für „genau so weit weg“ — deshalb findet er die Ecke C, die von A und B feste Abstände hat.
Beginne mit den beiden Geodreieck-Handgriffen: Welche Linie steht senkrecht auf der langen Kante?
Der Zirkel zeichnet alle Punkte, die gleich weit von einem Punkt entfernt sind.
A7
Fehlersuche in der Konstruktionsbeschreibung
AFB II

Tom beschreibt seine Konstruktion eines Dreiecks mit a = 6 cm, b = 5 cm und c = 7 cm. Drei Sätze sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler ist Satz 3: a und b vertauscht. Merke: Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, sie endet also in B und C — deshalb gehört der a-Bogen um B.
a liegt A gegenüber, b liegt B gegenüber. Welche Ecken verbindet b also?
Zähle auf dem Lineal nach: Wie viele Zentimeter liegen zwischen 1 und 6?
A8
Lot auf eine schräge Gerade
AFB III

Die blaue Linie ist die Gerade g (sie geht durch (0|0) und (8|8)). Der Punkt P(1|5) ist orange. Setze drei Punkte — denk daran: senkrecht zu g heißt hier nicht „senkrecht zum Heftrand“.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

g steigt pro Kästchen nach rechts um ein Kästchen. Senkrecht dazu geht es pro Kästchen nach rechts ein Kästchen nach unten: von P(1|5) über (2|4) zum Fußpunkt F(3|3) auf g. Noch einmal so weit: Q(5|1). Parallel zu g geht es wie g selbst schräg nach oben: von P drei Schritte zu R(4|8). Häufiger Fehler: das Lot senkrecht nach unten fällen und (1|1) setzen — das ist nicht die kürzeste Verbindung.
Wie läuft g von Kästchen zu Kästchen? Eine Senkrechte dazu läuft „über Kreuz“: ein Kästchen nach rechts, eins nach unten.
F muss auf g liegen, also gleiche x- und y-Koordinate haben.
A9
Trickaufgabe: Das platte Dreieck
AFB III

Ole soll ein Dreieck mit a = 4 cm, b = 6 cm und c = 10 cm konstruieren. Spiel durch, was passiert.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der Trick: 4 + 6 ist nicht kleiner als 10, sondern gleich. Die Dreiecksungleichung verlangt „echt größer“: a + b > c. Wer nur grob zeichnet, glaubt ein sehr flaches Dreieck zu sehen — rechnerisch liegt C aber genau auf AB.
    Vergleiche die Summe der zwei kürzeren Seiten mit der längsten: größer, gleich oder kleiner?
    Stell dir zwei Stäbe von 4 cm und 6 cm vor, die eine 10-cm-Lücke überbrücken sollen.
    A10
    Was passiert mit dem Punkt C?
    AFB III

    Ausgangsdreieck: c = AB = 8 cm, a = b = 5 cm. Die Bögen schneiden sich 3 cm über AB. Schätze für jede Änderung, was mit dem Schnittpunkt C passiert — ohne zu konstruieren.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = die Bögen treffen sich nicht, 2 = C liegt genau auf AB, 3 = C rückt näher an AB, 4 = C bleibt gleich weit von AB, 5 = C rückt weiter von AB weg. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = die Bögen treffen sich nicht5 = C rückt weiter von AB weg
    a und b werden je 6 cm lang
    a und b werden je 4 cm lang
    c wird 9,8 cm lang, a und b bleiben 5 cm
    a und b werden je 3 cm lang
    Man nimmt den Schnittpunkt unterhalb von AB
    Längere Zirkelöffnung → die Bögen treffen sich weiter oben. Bei 4 + 4 = 8 berühren sie sich genau auf AB, bei 3 + 3 = 6 < 8 gar nicht. Wird c fast so lang wie a + b = 10 cm, wird das Dreieck sehr flach. Der untere Schnittpunkt liefert ein Spiegelbild — gleich weit von AB entfernt.
    Vergleiche jedes Mal a + b mit c: Wie viel „Luft“ bleibt übrig?
    a + b = c: C liegt auf AB. a + b < c: kein Schnittpunkt.