Das Beet im Schulgarten
AFB I–IIDie Garten-AG legt ein rechteckiges Beet an: 3,5 m lang und 2 m breit. Kian zeichnet einen Plan, in dem 1 cm in der Zeichnung 50 cm im Garten entspricht. Vor der langen Beetkante AB steht ein Wasserhahn H, 1,5 m von der Kante entfernt. Zwei Vorschläge für den Schlauchweg sind gestrichelt eingezeichnet.
- Gib die Seitenlängen des Beets in Kians Zeichnung an.
- Beschreibe Schritt für Schritt, wie Kian das Rechteck mit dem Geodreieck konstruiert.
- Der Schlauch soll vom Hahn auf dem kürzesten Weg zur Kante AB führen. Erkläre, wie Kian diesen Weg in seiner Zeichnung findet, warum es der kürzeste ist und wie lang er in der Zeichnung wird.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
3,5 m = 350 cm, \(350:50=7\) → 7 cm. 2 m = 200 cm, \(200:50=4\) → 4 cm.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
1. Strecke \(\overline{AB}=7\) cm zeichnen. 2. Die Mittellinie des Geodreiecks auf AB legen und die lange Kante durch A schieben, Senkrechte zeichnen; ebenso in B. 3. Auf beiden Senkrechten 4 cm abtragen, Punkte D und C markieren. 4. C und D verbinden. 5. Probe: \(\overline{DC}=7\) cm und rechte Winkel in C und D. Vollständig ist die Beschreibung, wenn das Geodreieck-Werkzeug (Mittellinie) und beide Längen genannt werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Kian fällt das Lot von H auf die Gerade AB: Mittellinie des Geodreiecks auf AB, lange Kante durch H schieben, Strecke bis AB zeichnen. Das Lot steht senkrecht auf AB; jede schräge Verbindung wie die gestrichelten ist länger, deshalb ist das Lot der kürzeste Weg — seine Länge ist der Abstand von H zu AB. In der Zeichnung: 1,5 m = 150 cm, \(150:50=3\) → 3 cm.
Ein Sonnensegel für die Terrasse
AFB II–IIIFamilie Özdemir möchte über der Terrasse ein dreieckiges Sonnensegel spannen. Zwei Pfosten stehen schon, genau 6 m voneinander entfernt; einen dritten Pfosten wollen sie noch setzen. Im Baumarkt gibt es Segel A mit den Seitenlängen 4 m, 5 m und 6 m. Als Restposten liegt günstig Segel B mit 2 m, 3 m und 6 m aus. Die 6-m-Seite soll jeweils zwischen den beiden vorhandenen Pfosten hängen.
- Überprüfe, welches der beiden Segel sich überhaupt als Dreieck spannen lässt.
- Entwickle für Segel A einen Konstruktionsplan im Maßstab 1 cm ≙ 1 m, mit dem die Familie den Platz für den dritten Pfosten findet. Gib auch an, wie viele mögliche Plätze es gibt.
- Ein Nachbar bietet ein Segel mit den Seiten 6 m, 3 m und einer dritten Seite von x Metern an. Bestimme alle ganzen Meterzahlen x, für die sich dieses Segel zwischen die beiden Pfosten spannen lässt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Segel A: \(4\text{ m}+5\text{ m}=9\text{ m}>6\text{ m}\) → lässt sich spannen. Segel B: \(2\text{ m}+3\text{ m}=5\text{ m}<6\text{ m}\) → die beiden kurzen Seiten reichen nicht bis zum dritten Punkt; Segel B passt nicht, egal wie man es dreht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
1. Pfosten 1 und 2 als Punkte mit \(6\) cm Abstand zeichnen. 2. Zirkel auf \(4\) cm einstellen, Bogen um Pfosten 1. 3. Zirkel auf \(5\) cm einstellen, Bogen um Pfosten 2. 4. Der Schnittpunkt ist Pfosten 3; die Entfernung im Garten erhält man durch Messen (1 cm ≙ 1 m). Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten — auf jeder Seite der Verbindungslinie einer. Es gibt also zwei Plätze; die Familie wählt den, der über der Terrasse liegt. (Vertauscht man 4 m und 5 m, kommen zwei weitere, spiegelbildliche Plätze hinzu.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Fall 1, \(x\le 6\): Dann muss \(3+x>6\) sein, also \(x>3\): \(x=4,\,5,\,6\). Fall 2, \(x>6\): Dann muss \(6+3>x\) sein, also \(x<9\): \(x=7,\,8\). Ergebnis: \(x\in\{4;5;6;7;8\}\) Meter. Bei \(x=3\) oder \(x=9\) läge der dritte Pfosten genau auf der Linie — das Segel wäre platt.