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Umfang und Flächeninhalt

Ein Bolzplatz, eine Wand und eine Pinnwand: Wo steckt der Umfang, wo der Flächeninhalt — und wann reicht Rechnen allein nicht?

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Ein Bolzplatz für den Schulhof

AFB I–II

Auf dem Schulhof entsteht ein rechteckiger Bolzplatz. Er ist 32 m lang und 18 m breit und bekommt einen Kunstrasen. Rundherum wird eine Holzbande aufgestellt – nur in den beiden kurzen Seiten bleibt je ein 3 m breites Tor frei. Kunstrasen wird in Stücken zu je 100 m² verkauft.

Der Bolzplatz von oben
32 m18 mTor3 mTor 3 m
Braun: Bande. In den beiden kurzen Seiten ist je ein 3 m breites Tor ohne Bande.
  1. Bestimme den Flächeninhalt des Bolzplatzes. Gib ihn in m² und in Ar an.
  2. Ermittle, wie viele Meter Bande gebraucht werden.
  3. Begründe, dass der Hausmeister 6 Stücke Kunstrasen bestellen muss, obwohl 576 : 100 = 5,76 ergibt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rechteck: A = a · b. Für die Umrechnung: 1 a = 100 m².
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Bande läuft am Rand entlang – das ist der Umfang. Denk an die beiden Tore.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kann man 5,76 Stücke kaufen? Was passiert, wenn man nur 5 Stücke kauft?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A = 32 m · 18 m = 576 m². Da 1 a = 100 m² ist, gilt 576 m² = 5,76 a.

Antwort: Der Bolzplatz ist 576 m² bzw. 5,76 a groß.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

U = 2 · 32 m + 2 · 18 m = 64 m + 36 m = 100 m. Ohne die zwei Tore: 100 m − 2 · 3 m = 94 m.

Antwort: Es werden 94 m Bande gebraucht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

5 Stücke bedecken nur 500 m² – dann fehlen noch 76 m². Kunstrasen gibt es nur in ganzen Stücken, also muss aufgerundet werden: 6 Stücke = 600 m². Es bleiben 24 m² übrig (Verschnitt).

Vollständig ist die Antwort, wenn das Aufrunden mit der fehlenden Fläche begründet wird.

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Der Klassenraum bekommt eine neue Farbe

AFB II–III

Die Klasse 6b gestaltet ihren Klassenraum neu. Der Raum ist 8 m lang, 7 m breit und 3 m hoch. Gestrichen wird nur die Rückwand (8 m breit, 3 m hoch); in ihr ist eine Tür, 1 m breit und 2 m hoch, die nicht gestrichen wird. Ein Eimer Wandfarbe reicht für 10 m² und kostet 18 €. Danach soll an die Wand eine Pinnwand, 1,5 m breit und 1 m hoch, für Klassenfotos im Format 10 cm × 15 cm.

Die Rückwand des Klassenraums
TürPinnwand8 m3 m1 m2 m
Die Pinnwand (gestrichelt) wird erst nach dem Streichen aufgehängt.
  1. Berechne die Fläche, die gestrichen werden muss.
  2. Lege fest, wie viele Eimer die Klasse kaufen muss, und gib die Kosten an.
  3. Überprüfe Leons Aussage: „Die Pinnwand hat 15 000 cm², ein Foto 150 cm². Also passen 100 Fotos darauf – egal, wie herum wir sie aufhängen.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Angaben über den Raum brauchst du gar nicht? Wand minus Tür.
Hinweis zu Aufgabe b)
Reichen 2 Eimer? Vergleiche die Fläche, die 2 Eimer schaffen, mit deinem Ergebnis aus a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne Leons Flächen nach. Probiere dann aus, wie viele Fotos in eine Reihe passen: einmal quer (15 cm breit), einmal hochkant (10 cm breit). Fotos werden nicht zerschnitten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Wand: 8 m · 3 m = 24 m². Tür: 1 m · 2 m = 2 m². Zu streichen: 24 m² − 2 m² = 22 m².

Länge und Breite des Raumes (8 m, 7 m) werden nicht gebraucht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

2 Eimer reichen für 20 m² – das ist zu wenig. 3 Eimer reichen für 30 m² ≥ 22 m².

Die Klasse kauft 3 Eimer für 3 · 18 € = 54 €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Leons Flächen stimmen: 150 cm · 100 cm = 15 000 cm², 10 cm · 15 cm = 150 cm², 15 000 : 150 = 100.

Quer aufgehängt (15 cm breit, 10 cm hoch): 150 : 15 = 10 Fotos pro Reihe, 100 : 10 = 10 Reihen, also 100 Fotos. Hochkant (10 cm breit, 15 cm hoch): 150 : 10 = 15 Fotos pro Reihe, aber 100 : 15 ergibt nur 6 volle Reihen (10 cm bleiben frei), also 90 Fotos.

Leons Aussage stimmt also nur für quer aufgehängte Fotos; „egal, wie herum“ ist falsch. Die Flächenrechnung liefert nur eine Obergrenze.