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Dreiecke und Winkelsumme

Nach Seiten, nach Winkeln, mit 180° als Kontrolle: zehn Übungen, in denen jedes Dreieck seinen richtigen Namen bekommt.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen von AFB I bis AFB III — zum Einordnen, Rechnen, Zuordnen und Entscheiden. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler; bei Rechenaufgaben helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Doppelt einordnen
AFB I

Jedes Dreieck lässt sich nach seinen Winkeln und nach seinen Seiten einordnen. Setze alle zutreffenden Kreuze. Tipp: Rechne, wo nötig, erst den dritten Winkel aus.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
Dreieckspitzwinkligrechtwinkligstumpfwinkliggleichschenkliggleichseitig
α = 60°, β = 60°
α = 35°, β = 55°
a = b = 5 cm, γ = 100°
α = 20°, β = 80°
α = 45°, β = 45°
Der dritte Winkel entscheidet oft alles: 35° + 55° lassen 90° übrig, 20° + 80° lassen 80° übrig — zwei gleiche Winkel, also gleichschenklig. Ein gleichseitiges Dreieck ist immer auch gleichschenklig, deshalb gehören in die erste Zeile drei Kreuze.
A2
Winkel an der Spitze
AFB I

In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel 38° groß. Wie groß ist der Winkel an der Spitze?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Beide Basiswinkel sind gleich groß: 38° + 38° = 76°. Für die Spitze bleiben 180° − 76° = 104°. Typischer Fehler: 180° − 38° = 142° — dabei wird der zweite Basiswinkel vergessen.
Ansatz: Wie viele Winkel sind im gleichschenkligen Dreieck 38° groß?
Rechenweg: 180° − 2 · 38°.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Dreiecksarten und die Winkelsumme.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Erst die Winkelsumme prüfen, dann einordnen: Ein Dreieck, dessen Winkel nicht 180° ergeben, gibt es nicht — egal, wie man es nennen würde.
A4
Spitz, recht oder stumpf?
AFB II

Von jedem Dreieck kennst du nur zwei Angaben. Ordne es nach seinem größten Winkel ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1spitzwinklig
2rechtwinklig
3stumpfwinklig
Zwei kleine Winkel bedeuten einen großen dritten: 40° + 45° = 85°, also γ = 95° — stumpfwinklig, obwohl beide gegebenen Winkel spitz sind. Bei den gleichschenkligen Dreiecken entscheidet die Spitze: 180° − 2 · 46° = 88° (spitz), 180° − 2 · 44° = 92° (stumpf).
Ansatz: Rechne den dritten Winkel aus und vergleiche ihn mit 90°.
Rechenweg: Liegt α + β unter 90°, ist γ stumpf; genau 90° ergibt einen rechten Winkel; über 90° ist γ spitz.
A5
Mix: Außenwinkel am Dreieck
AFB II

Hier kommen die Nebenwinkel aus „Winkel an Geradenkreuzungen“ zurück. Die Seite AB wird über B hinaus verlängert. Der Winkel zwischen der Verlängerung und BC heißt Außenwinkel bei B.

57°128°ABC
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. β °
  2. γ °
  3. Außenwinkel bei A °
  4. Außenwinkel bei C °
  5. Summe aller drei Außenwinkel °
β ist Nebenwinkel des Außenwinkels: 180° − 128° = 52°. γ = 180° − 57° − 52° = 71°. Außenwinkel bei A: 180° − 57° = 123°, bei C: 180° − 71° = 109°. Zusammen: 128° + 123° + 109° = 360° — das gilt für jedes Dreieck. Nebenbei: 128° = 57° + 71°, der Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.
Ansatz: Außenwinkel und Innenwinkel an derselben Ecke liegen an einer Geraden — sie sind Nebenwinkel.
Rechenweg: β = 180° − 128°. Dann Winkelsumme für γ. Jeder Außenwinkel = 180° − Innenwinkel.
A6
Gegeben und gesucht
AFB II

Verbinde jede Beschreibung mit dem gesuchten Winkel.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Beim gleichschenkligen Dreieck erst die Spitze abziehen, dann halbieren: (180° − 34°) : 2 = 73°. Ist γ = 90°, teilen sich α und β die restlichen 90° im Verhältnis 2 : 1 — also 60° und 30°.
Ansatz: Winkelsumme 180°. Bei „gleichschenklig“: zwei gleiche Basiswinkel.
Rechenweg: Für die letzte Zeile: α + β = 90° und α = 2 · β, also sind 90° drei gleiche Teile.
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus Leonies Heft — drei davon sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 4 ist der Klassiker: „gleichschenklig“ mit „gleichseitig“ verwechselt. Gleich groß sind nur die beiden Winkel an der Basis.
A8
Trickaufgabe: Welcher Winkel ist 40°?
AFB III

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Winkel von 40°. Mehr ist nicht bekannt. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Es steht nicht da, ob 40° der Winkel an der Spitze oder ein Basiswinkel ist. Spitze 40°: (180° − 40°) : 2 = 70° je Basiswinkel. Basiswinkel 40°: der zweite Basiswinkel auch 40°, die Spitze 100°. 40° + 40° + 40° wären nur 120°, und 50° / 90° ergibt zwar 180°, hat aber keine zwei gleichen Winkel.
Ansatz: Wo im gleichschenkligen Dreieck könnte der 40°-Winkel liegen? Es gibt zwei Möglichkeiten.
Rechenweg: Fall 1: 40° an der Spitze. Fall 2: 40° als Basiswinkel — dann gibt es ihn zweimal.
A9
Welches Dreieck ist das?
AFB III

In einem Dreieck ist β doppelt so groß wie α, und γ ist dreimal so groß wie α. Bestimme zuerst die drei Winkel und beantworte dann die Fragen.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst. Mit „Neu“ startest du von vorn.
    α + 2α + 3α = 6α = 180°, also α = 30°, β = 60°, γ = 90°. Ein rechter Winkel, keine zwei gleichen Winkel — also rechtwinklig und unregelmäßig. Solche Anteilsaufgaben löst du, indem du 180° in gleich große Teile zerlegst: hier 1 + 2 + 3 = 6 Teile zu je 30°.
    Ansatz: Zähle, aus wie vielen „α-Stücken“ die Winkelsumme besteht.
    Rechenweg: 1 + 2 + 3 = 6 Stücke; 180° : 6 = 30° für α.
    A10
    Die Spitze wird breiter
    AFB III

    Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze 40° und zwei Basiswinkel von je 70°. Die Spitze wird auf 60° geöffnet, das Dreieck bleibt gleichschenklig. Schätze ein, wie sich jede Größe ändert. Ein Außenwinkel ist der Nebenwinkel eines Innenwinkels (wie in A5).

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = nimmt um 20° ab, 2 = nimmt um 10° ab, 3 = bleibt gleich, 4 = nimmt um 10° zu, 5 = nimmt um 20° zu. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = nimmt um 20° ab5 = nimmt um 20° zu
    ein Basiswinkel
    der Außenwinkel an der Spitze
    die Winkelsumme
    die beiden Außenwinkel an der Basis zusammen
    Winkel an der Spitze + ein Basiswinkel
    Die 20° mehr an der Spitze fehlen den beiden Basiswinkeln zusammen — jeder verliert 10° (70° → 60°). Außenwinkel verhalten sich umgekehrt wie ihr Innenwinkel. Spitze + Basiswinkel: +20° − 10° = +10°. Bei 60° an der Spitze ist das Dreieck übrigens gleichseitig geworden.
    Ansatz: Die Winkelsumme bleibt 180°. Wohin „wandern“ die 20°, die die Spitze dazubekommt?