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Dreiecke und Winkelsumme

Reiß die drei Ecken eines Papierdreiecks ab und lege sie aneinander — sie passen jedes Mal genau auf eine Gerade.

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Dreiecke einteilen

Jedes Dreieck lässt sich zweimal einordnen: nach seinen Seiten und nach seinen Winkeln.

  • Beschriftung:Ecken A, B, C gegen den Uhrzeigersinn; die Seite a liegt A gegenüber (b gegenüber B, c gegenüber C); der Winkel α liegt bei A, β bei B, γ bei C.
  • Unregelmäßig:alle drei Seiten sind verschieden lang.
  • Gleichschenklig:zwei Seiten (die Schenkel) sind gleich lang; die dritte heißt Basis, die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß.
  • Gleichseitig:alle drei Seiten sind gleich lang — ein besonderes gleichschenkliges Dreieck.
  • Spitzwinklig:alle drei Winkel sind kleiner als 90°.
  • Rechtwinklig:ein Winkel ist genau 90°.
  • Stumpfwinklig:ein Winkel ist größer als 90°.
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Die Winkelsumme

Egal wie das Dreieck aussieht — seine drei Innenwinkel ergeben zusammen immer denselben Wert.

Ziehe die Ecken A, B und C (oder Tab und Pfeiltasten) und klicke „Ecken abreißen“: Die Winkelstücke bei A und B wandern nach C. Verändere das Dreieck danach weiter.

Ecken abreißen

Halte fest: Die drei Winkelstücke liegen bei C lückenlos an einer Geraden — zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel.

Herleitung:

\(\alpha'=\alpha\) und \(\beta'=\beta\)
Wechselwinkel
Start: Zeichne durch C die Parallele zur Seite c. Die Winkel α′ und β′ bei C sind Wechselwinkel zu α und β an Parallelen.
\(\alpha'+\gamma+\beta'=180^\circ\)
gestreckter Winkel
Die drei Winkel bei C liegen nebeneinander an der Parallelen.
\(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\)
Ergebnis
α′ durch α und β′ durch β ersetzt.
Merke

Winkelsumme im Dreieck: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\)

  • Fehlender Winkel:\(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\).
  • Gleichseitig:drei gleich große Winkel, also je \(180^\circ:3=60^\circ\).
  • Rechtwinklig:die beiden anderen Winkel ergeben zusammen 90°.
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Allgemeine Hinweise

Höchstens ein großer Winkel

Ein Dreieck kann nicht zwei rechte oder stumpfe Winkel haben — diese beiden allein hätten schon 180° oder mehr.

Den dritten Winkel ausrechnen

Bei \(\alpha=50^\circ\) und \(\beta=65^\circ\) ist \(\gamma=180^\circ-50^\circ-65^\circ=65^\circ\) — zwei gleiche Winkel, also gleichschenklig.

179° oder 181° gemessen?

Beim Messen mit dem Geodreieck entstehen kleine Ungenauigkeiten. Die Summe ist trotzdem immer genau 180°.

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