MINT lernen

Dreiecke und Winkelsumme

Geodreieck, Triangel, Kleiderbügel und zwei Leitern: zwei Sachaufgaben, in denen Dreiecksart und Winkelsumme über die Sicherheit entscheiden.

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Dreiecke im Schulalltag

AFB I–II

Drei Gegenstände aus der Schule haben die Form eines Dreiecks: das Geodreieck aus dem Mäppchen, die Triangel aus dem Musikraum und ein Kleiderbügel aus der Garderobe.

Beim Geodreieck sind die beiden kurzen Seiten gleich lang und schließen einen rechten Winkel ein. Die Triangel hat drei gleich lange Stäbe. Beim Kleiderbügel sind die beiden oberen Stangen gleich lang; sie bilden am Haken einen Winkel von 128°.

Drei Dreiecke aus dem Schulalltag
GeodreieckTriangel128°Kleiderbügel
Gleich viele Striche bedeuten gleich lange Seiten.
  1. Ordne jedem Gegenstand zu, welche Dreiecksart er nach seinen Seiten und nach seinen Winkeln hat.
  2. Berechne die beiden unteren Winkel des Kleiderbügels und alle Winkel der Triangel.
  3. Lea möchte einen Kleiderbügel bauen, der gleichseitig ist und am Haken trotzdem einen stumpfen Winkel hat. Erkläre, warum das nicht möglich ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Jedes Dreieck bekommt zwei Namen: einen für die Seiten (unregelmäßig, gleichschenklig, gleichseitig) und einen für den größten Winkel (spitz-, recht-, stumpfwinklig).
Hinweis zu Aufgabe b)
Beim Kleiderbügel sind die beiden unteren Winkel die Basiswinkel. Bei der Triangel sind alle drei Winkel gleich groß.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie groß ist jeder Winkel in einem gleichseitigen Dreieck?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Geodreieck: gleichschenklig und rechtwinklig.

Triangel: gleichseitig (damit auch gleichschenklig) und spitzwinklig.

Kleiderbügel: gleichschenklig und stumpfwinklig (128° > 90°).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Kleiderbügel: 180° − 128° = 52°, verteilt auf zwei gleich große Basiswinkel: 52° : 2 = 26° je Winkel.

Triangel: 180° : 3 = 60° je Winkel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß, wegen der Winkelsumme also je 180° : 3 = 60°. Ein stumpfer Winkel müsste größer als 90° sein. Ein gleichseitiges Dreieck ist deshalb immer spitzwinklig — Leas Kleiderbügel kann es nicht geben.

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Leitern sicher aufstellen

AFB II–III

Für Leitern gilt eine Sicherheitsregel: Der Winkel zwischen Leiter und Boden soll zwischen 65° und 75° liegen. Ist er kleiner, kann die Leiter wegrutschen; ist er größer, kann sie nach hinten kippen.

Hausmeister Herr Kaya lehnt eine Anlegeleiter an die senkrechte Wand der Turnhalle; Wand und Boden bilden einen rechten Winkel. Die Leiter schließt mit der Wand einen Winkel von 30° ein. Außerdem stellt er eine Stehleiter auf: Ihre beiden Leiterteile sind gleich lang und oben verbunden; aufgeklappt bilden sie oben einen Winkel von 34°.

Anlegeleiter und Stehleiter (Skizze, nicht maßstäblich)
30°?Anlegeleiter34°Stehleiter
Sicherheitsregel: Winkel zwischen Leiter und Boden 65° bis 75°
  1. Ermittle den Winkel zwischen Anlegeleiter und Boden.
  2. Beurteile, ob Herr Kaya die Anlegeleiter sicher aufgestellt hat. Gehe dabei auch darauf ein, in welchem Bereich der Winkel zwischen Leiter und Wand liegen dürfte.
  3. Untersuche, ob die Stehleiter die Sicherheitsregel erfüllt und welche Dreiecksart die beiden Leiterteile mit dem Boden bilden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wand, Boden und Leiter bilden ein Dreieck. Welcher Winkel ist darin schon bekannt, ohne dass eine Zahl dasteht?
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche dein Ergebnis aus a) mit der Regel. Rechne für die Grenzen 65° und 75° jeweils den Winkel an der Wand aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die beiden Leiterteile sind gleich lang — welche Winkel sind dann gleich groß? Zusatzfrage für Profis: In welchem Bereich darf der Winkel oben liegen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Wand, Boden und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Winkel am Boden: 180° − 90° − 30° = 60°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

60° ist kleiner als 65° — die Leiter steht zu flach und kann unten wegrutschen. Sie ist nicht sicher aufgestellt.

Im rechtwinkligen Dreieck ergeben Boden- und Wandwinkel zusammen 90°. Bodenwinkel 65° bis 75° bedeutet deshalb einen Wandwinkel von 25° bis 15°. Herr Kaya sollte den Fuß der Leiter näher an die Wand stellen, bis der Winkel zur Wand höchstens 25° beträgt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Leiterteile sind gleich lang, also ist das Dreieck gleichschenklig; die Winkel am Boden sind die Basiswinkel: (180° − 34°) : 2 = 73°. 73° liegt zwischen 65° und 75° — die Stehleiter steht sicher.

Dreiecksart: gleichschenklig und spitzwinklig (alle Winkel 34°, 73°, 73° kleiner als 90°).

Weiterführend: Bodenwinkel 65° ergibt oben 180° − 130° = 50°, Bodenwinkel 75° ergibt 30°. Der Öffnungswinkel oben darf also zwischen 30° und 50° liegen.