Die Basis e
Beim exponentiellen Wachstum ist die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zum Bestand — und für die Basis \( e \) ist der Proportionalitätsfaktor genau 1.
Wachstumsgeschwindigkeit
Die momentane Änderungsrate \( f'(t) \) ist die Tangentensteigung. Beim exponentiellen Wachstum ist sie ein fester Anteil \( k \) des Bestands.
Die Eulersche Zahl
Genau für \( e\approx2{,}718 \) hat die Tangente in \( (0\,|\,1) \) die Steigung 1. Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung.
Natürlicher Logarithmus
\( \ln y \) ist der Exponent, mit dem man \( e \) potenzieren muss, um \( y \) zu erhalten. Graph: an \( y=x \) gespiegelter Graph von \( e^x \).
Exponentialgleichungen
Potenz isolieren, beide Seiten logarithmieren, auflösen. \( e^{kx}=c \) hat nur für \( c>0 \) eine Lösung.
Aus \( e^{kT}=2 \) bzw. \( e^{kT}=\tfrac12 \). Beispiel: \( k=0{,}4 \) pro Stunde ergibt \( T\approx1{,}73 \) h.
ln ist keine Klammer
\( \ln(200\cdot e^{0{,}4t}) \) ist nicht \( 200\cdot0{,}4t \). Erst durch 200 teilen, dann logarithmieren.
Ableitungsregeln
Mit Ketten- und Produktregel lassen sich alle Funktionen der Form Polynom mal e-Funktion ableiten und untersuchen.
Kettenregel
Äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung. Die innere Funktion bleibt unverändert stehen.
Basis a umschreiben
Jede Basis \( a>0 \) ist eine Potenz von \( e \): \( a=e^{\ln a} \). Daraus folgt die Ableitung jeder Exponentialfunktion.
Produktregel
Beide Faktoren hängen von \( x \) ab: jeden einmal ableiten, den anderen stehen lassen, addieren. Dann den e-Faktor ausklammern.
Grenzverhalten
\( e^x \) dominiert jede Potenz: \( x^n e^{-x}\to0 \) für \( x\to\infty \), \( x^n e^{x}\to0 \) für \( x\to-\infty \).
Extrem- und Wendestellen: nur der Polynomteil kann null werden, weil \( e^{kx}>0 \). Beispiel: \( f(x)=x\,e^{-x} \) hat \( H(1\,|\,e^{-1}) \) und \( W(2\,|\,2e^{-2}) \).
Satz vom Nullprodukt
\( p(x)\cdot e^{v(x)}=0 \iff p(x)=0 \). Nicht durch \( x \) teilen — sonst geht die Lösung \( x=0 \) verloren.
Wachstum modellieren
Vier Modelle unterscheiden sich darin, wovon die Änderungsrate abhängt: von nichts, vom Bestand, vom Abstand zur Schranke oder von beidem.
Begrenztes Wachstum
Die Rate ist proportional zum Abstand zur Schranke \( S \). Der Graph nähert sich der Asymptote \( y=S \), erreicht sie aber nie.
Logistisches Wachstum
Die Rate ist proportional zum Bestand und zum Abstand zur Schranke. S-förmiger Graph, am schnellsten bei \( f=\tfrac S2 \).
Differentialgleichungen
Gleichung zwischen \( f \) und \( f' \). Lösungen durch Einsetzen prüfen: beide Seiten für alle \( t \) gleich.
Parameter aus zwei Punkten
Quotient der Funktionswerte bilden, dann logarithmieren. Weit auseinanderliegende Punkte liefern das stabilere Modell.
Regression mit dem Rechner
fx-CG50: STAT, F2 CALC, F3 REG, F6 ▷, Exp, \( a\cdot e^{bx} \) — hier ist \( b=k \). TI-Nspire liefert \( y=a\cdot b^x \), dann \( k=\ln b \).
Modell bewerten
Gültigkeitsbereich angeben, mit neuen Daten prüfen, Sachlogik beachten: Gibt es eine Obergrenze?
Beispiel Limonade: \( f(t)=24-18e^{-0{,}1t} \); nach 10 min etwa 17,4 °C, 20 °C nach etwa 15 min.
Regel 1 — Modell begründen
Linear, exponentiell, begrenzt oder logistisch? Mit Daten und Sachkontext begründen: „Die Abstände zu 26 °C nehmen jeweils um denselben Faktor ab, also begrenzt.“
Regel 2 — Gerundet heißt ≈
Mit ungerundeten Werten weiterrechnen und erst am Ende runden; Ergebnisse mit Einheit und Antwortsatz im Sachkontext deuten.