Ergebnisse werden zu Zahlen — und gleiche Zahlen landen auf demselben Stapel.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Was ist eine Zufallsgröße?
AFB I
Eine Zufallsgröße \(X\) macht aus den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen. Gib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Negative Werte sind erlaubt — ein Verlust wird z. B. als \(-3\) € notiert. Und „\(X=2\)“ ist ein Ereignis: Es fasst alle Ergebnisse mit dem Wert 2 zusammen, das können viele sein. Wer Ergebnis und Wert verwechselt, vergisst später Pfade.
Frage: Was wird zugeordnet — und wem?Jedes Ergebnis bekommt eine Zahl; umgekehrt kann eine Zahl zu mehreren Ergebnissen gehören.
Hilfe: Denk an einen Gewinn in Euro: Er kann auch ein Verlust sein.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen zu Verteilungen und Histogrammen. Beurteile jede kurz.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Der häufigste Fehler: Die Summe 1 wird bei den Werten statt bei den Wahrscheinlichkeiten gesucht. Die Werte können beliebige Zahlen sein, auch negative oder große.
Frage: Was ist Wert, was ist Wahrscheinlichkeit?Werte stehen auf der Achse, Wahrscheinlichkeiten als Säulenhöhen.
Hilfe: Addiere bei Aussage 5 die beiden Wahrscheinlichkeiten.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I
Beschreibe den Weg vom Zufallsexperiment zur Verteilung mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eine zu. Die möglichen von \(X\) stehen in der ersten Zeile der Verteilungstabelle. Alle Ergebnisse mit demselben Wert bilden ein , z. B. \(X=1\). Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse werden . Im Histogramm entspricht die einer Säule der Wahrscheinlichkeit.
„multipliziert“ bleibt übrig: Multipliziert wird entlang eines Pfads (Pfadregel). Pfade mit demselben Wert von \(X\) werden dagegen addiert — wer hier multipliziert, bekommt viel zu kleine Wahrscheinlichkeiten.
Idee: Gehe den Weg der Reihe nach: Ergebnis → Zahl → Ereignis → Wahrscheinlichkeit → Bild.So ergibt sich die Reihenfolge der Lücken.
Hilfe: Verschiedene Pfade zum selben Wert: Summenregel.
A4
Welches Paar gehört zu welchem Wert?
AFB II
Aus vier Karten mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 werden zwei gleichzeitig gezogen. \(X\) ist die größere der beiden Zahlen. Ordne jedes mögliche Paar dem passenden Ereignis zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1X = 2
2X = 3
3X = 4
\(X=4\) tritt immer ein, sobald die 4 dabei ist — das sind drei der sechs gleich wahrscheinlichen Paare, also \(P(X=4)=\tfrac36\). Typischer Fehler: \(X\) mit der Summe verwechseln oder annehmen, dass alle Werte gleich wahrscheinlich sind (\(\tfrac13\) je Wert).
Ansatz: Schreibe zu jedem Paar zuerst die größere Zahl daneben.Das ist genau die Zuordnung Ergebnis → Wert.
Hilfe: Der Wert 1 kommt gar nicht vor — die größere von zwei verschiedenen Zahlen ist mindestens 2.
A5
Rechenkette: Freiwürfe im Basketball
AFB IIMix
Eine Spielerin wirft zwei Freiwürfe. Den ersten trifft sie mit 0,7. Nach einem Treffer trifft sie den zweiten mit 0,8, nach einem Fehlwurf nur mit 0,6. \(X\) ist die Anzahl der Punkte (1 Punkt je Treffer). Berechne die Verteilung.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
\(P(X=0)\)
\(P(X=1)\)
\(P(X=2)\)
\(P(X=0)=0{,}3\cdot0{,}4=0{,}12\), \(P(X=2)=0{,}7\cdot0{,}8=0{,}56\). Für \(X=1\) gibt es zwei Pfade: \(0{,}7\cdot0{,}2+0{,}3\cdot0{,}6=0{,}32\). Häufiger Fehler: nur den Pfad „Treffer, Fehlwurf“ nehmen. Kontrolle: \(0{,}12+0{,}32+0{,}56=1\).
Ansatz: Zeichne den Baum mit bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der 2. Stufe.Die zweite Stufe hängt vom ersten Wurf ab — wie in 2.1.
Hilfe: Gegenwahrscheinlichkeiten: \(0{,}3\), \(0{,}2\) und \(0{,}4\).
A6
Ereignis und Wahrscheinlichkeit
AFB II
\(X\) ist die Anzahl der Personen in einem Auto auf einer Pendlerstraße: \(P(X=1)=0{,}55\), \(P(X=2)=0{,}25\), \(P(X=3)=0{,}1\), \(P(X=4)=0{,}06\), \(P(X=5)=0{,}04\). Bestimme zu jedem Ereignis die Wahrscheinlichkeit und verbinde.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
„\(X>3\)“ heißt 4 oder 5 Personen — die 3 gehört nicht dazu. Wer bei „größer als“ und „mindestens“ die Grenze falsch setzt, erhält \(0{,}2\) statt \(0{,}1\). Für \(X\ge2\) ist das Gegenereignis am schnellsten: \(1-0{,}55\).
Ansatz: Schreibe jedes Ereignis als Liste der Werte, die dazugehören.Dann addierst du genau diese Wahrscheinlichkeiten.
Hilfe: \(X\ne3\) ist das Gegenereignis von \(X=3\).
A7
Von der Aktion zur Verteilung
AFB II
Eine Bäckerei druckt auf jede Tüte zwei Rubbelfelder; jedes zeigt unabhängig mit 0,2 „Gratis-Brötchen“. \(X\) ist die Anzahl gewonnener Brötchen. Plane die Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Baum mit zwei Stufen und vier Pfaden zeichnen
2Jedem Pfadende den Wert von \(X\) zuordnen: 2, 1, 1, 0
4Pfade mit gleichem Wert addieren: \(P(X=1)=0{,}32\)
5Tabelle notieren und prüfen: \(0{,}64+0{,}32+0{,}04=1\)
Oft wird das Addieren vergessen und \(P(X=1)=0{,}16\) notiert — dann fehlt in der Tabelle genau ein Pfad, und die Kontrolle „Summe 1“ schlägt Alarm (\(0{,}84\)).
Frage: Was muss feststehen, bevor du Pfade zusammenfassen kannst?Welcher Pfad welchen Wert hat — und wie wahrscheinlich er ist.
\(X\) ist die Anzahl der Nachhilfestunden, die eine Schülerin pro Woche bucht: \(P(X=0)=a\), \(P(X=1)=0{,}4\), \(P(X=2)=b\), \(P(X=3)=0{,}1\). Unter den Wochen mit mindestens einer Stunde hat jede achte drei Stunden. Ermittle \(b\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
„Jede achte unter den Wochen mit mindestens einer Stunde“ ist bedingt: \(P_{X\ge1}(X=3)=\tfrac{0{,}1}{P(X\ge1)}=0{,}125\), also \(P(X\ge1)=0{,}8\). Dann \(b=0{,}8-0{,}4-0{,}1=0{,}3\) (und \(a=0{,}2\)). Typischer Fehler: \(0{,}125\) direkt als \(P(X=3)\) lesen.
Ansatz: Die Angabe „jede achte unter …“ ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.Bedingung ist \(X\ge1\) — sie steht im Nenner.
Hilfe: \(\tfrac{0{,}1}{P(X\ge1)}=\tfrac18\), danach Summe der Tabelle nutzen.
A9
Fehlersuche: Punkte an zwei Tagen
AFB III
Eine Lern-App öffnet täglich eine Belohnungskiste: 10 Punkte (0,6), 50 Punkte (0,3) oder 200 Punkte (0,1), unabhängig von Tag zu Tag. \(X\) = Punkte an zwei Tagen zusammen. Überprüfe die Heftnotizen — drei Zeilen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler haben dieselbe Wurzel: Pfade und Werte werden gleichgesetzt. Die gemischten Summen (60, 210, 250) entstehen je auf zwei Pfaden; nur die „Doppel“ 20, 100, 400 haben einen einzigen Pfad.
Strategie: Stelle die vollständige Tabelle selbst auf und vergleiche.Dann ist jeder Fehler eine Abweichung von deiner Tabelle.
Zwei Personen drehen je einen Kreisel mit den Zahlen 1 bis 4 (jede Zahl gleich wahrscheinlich). \(X\) ist der Abstand der beiden Zahlen, also \(|a-b|\). Schätze jede Wahrscheinlichkeit ab, bevor du genau rechnest.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,1, 2 = 0,1 bis 0,2, 3 = 0,2 bis 0,3, 4 = 0,3 bis 0,4, 5 = über 0,4. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 0,15 = über 0,4
\(P(X=0)\)
\(P(X=1)\)
\(P(X=3)\)
\(P(X\ge1)\)
\(P(X\ge2)\)
Die Falle: Viele halten \(X=0\) für am wahrscheinlichsten oder alle vier Abstände für gleich wahrscheinlich. Von 16 gleich wahrscheinlichen Paaren haben aber 4 den Abstand 0, 6 den Abstand 1, 4 den Abstand 2 und nur 2 den Abstand 3: \(P(X=1)=\tfrac{6}{16}=0{,}375\), \(P(X=3)=0{,}125\), \(P(X\ge1)=0{,}75\), \(P(X\ge2)=0{,}375\).
Ansatz: Lege eine 4×4-Tabelle an und trage in jedes Feld den Abstand ein.Die 16 Felder sind gleich wahrscheinlich — du musst nur zählen.
Hilfe: Abstand 1 liegt direkt neben der Diagonalen: \(3+3\) Felder.
