Rechnung im Café
AFB I–IIIn einem Café bestellen 60 % der Gäste einen Kaffee (3,00 €), die übrigen einen Tee (2,50 €). Von den Kaffeetrinkern nimmt jeder zweite zusätzlich ein Stück Kuchen (3,50 €), von den Teetrinkern jeder vierte. Jeder Gast bestellt genau ein Getränk und höchstens ein Stück Kuchen.
Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt den Rechnungsbetrag eines zufällig ausgewählten Gastes in Euro.
- Geben Sie alle Werte an, die \(X\) annehmen kann.
- Erstellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) als Tabelle.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast mehr als 5 € bezahlt.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast, der mehr als 5 € bezahlt, Tee getrunken hat.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(X\in\{2{,}50;\ 3{,}00;\ 6{,}00;\ 6{,}50\}\) (Tee; Kaffee; Tee mit Kuchen; Kaffee mit Kuchen).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Pfadregel: \(0{,}4\cdot0{,}75=0{,}3\); \(0{,}6\cdot0{,}5=0{,}3\); \(0{,}4\cdot0{,}25=0{,}1\); \(0{,}6\cdot0{,}5=0{,}3\).
| \(x_i\) in € | 2,50 | 3,00 | 6,00 | 6,50 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,3 |
Kontrolle: \(0{,}3+0{,}3+0{,}1+0{,}3=1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(X>5)=P(X=6)+P(X=6{,}5)=0{,}1+0{,}3=0{,}4\). 40 % der Gäste zahlen mehr als 5 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(P_{X>5}(T)=\dfrac{P(T\cap X>5)}{P(X>5)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25\).
Ein Viertel der Gäste mit einer Rechnung über 5 € hat Tee getrunken.
Kartenpacks im Handyspiel
AFB II–IIIIn einem Sammelkartenspiel für das Smartphone kauft man Packs mit je drei Karten für 60 Spielmünzen. Jede Karte ist entweder gewöhnlich oder selten. Eine gewöhnliche Karte lässt sich für 5 Münzen verkaufen, eine seltene für 50 Münzen.
Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der seltenen Karten in einem Pack an. Der Hersteller veröffentlicht die abgebildete Verteilung. Die Zufallsgröße \(G\) beschreibt den Reingewinn in Münzen, wenn man ein Pack kauft und alle drei Karten sofort verkauft.
Die Werbung verspricht: „In mehr als jedem zehnten Pack stecken mindestens zwei seltene Karten!“
- Entnehmen Sie der Abbildung \(P(X\ge1)\) und \(P(X\le1)\).
- Überprüfen Sie die Aussage der Werbung.
- Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(G\) auf.
- Ein Spieler behauptet: „Mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit mache ich bei einem Pack keinen Verlust.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(X\ge1)=1-0{,}5=0{,}5\) und \(P(X\le1)=0{,}5+0{,}35=0{,}85\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X\ge2)=0{,}12+0{,}03=0{,}15>0{,}1\).
Die Aussage stimmt: In etwa 15 % der Packs, also in mehr als jedem zehnten, stecken mindestens zwei seltene Karten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Erlös bei \(k\) seltenen Karten: \(15\), \(60\), \(105\), \(150\) Münzen; Reingewinn \(G=\text{Erlös}-60\).
| \(g_i\) in Münzen | \(-45\) | 0 | 45 | 90 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | 0,50 | 0,35 | 0,12 | 0,03 |
Da jedem \(k\) genau ein Wert von \(G\) entspricht, übernimmt \(G\) die Wahrscheinlichkeiten von \(X\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
„Kein Verlust“ heißt \(G\ge0\), also \(X\ge1\): \(P(G\ge0)=0{,}5\). Das sind genau 50 %, nicht mehr — die Aussage ist falsch.
Einen echten Gewinn (\(G>0\)) gibt es sogar nur mit \(0{,}12+0{,}03=0{,}15\); in 35 % der Fälle spielt man genau null. Der Spieler zählt vermutlich den Fall \(G=0\) als Gewinn oder verwechselt „mindestens“ mit „mehr als“.