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Übungen: Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Höchstens, mindestens, zwischen — jede Frage auf die Treppe zurückführen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
„Mindestens 4“ in Formeln
AFB I

\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=15\) und einer Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Gib alle Terme an, die die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 4 Treffer“ beschreiben.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(1-P(X\le4)\) zieht auch \(X=4\) ab — dabei gehört die 4 zu „mindestens 4“. Dasselbe Problem hat \(P(X>4)\): Das beginnt erst bei 5.
Ansatz: Schreibe die Menge der gesuchten Werte auf: \(\{4,5,\dots,15\}\).Jeder richtige Term muss genau diese Werte erfassen.
Hilfe: Das Gegenereignis von \(\{4,\dots,15\}\) ist \(\{0,1,2,3\}\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Entscheide, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Bei „zwischen \(a\) und \(b\)“ zieht man \(P(X\le a-1)\) ab. Wer \(P(X\le a)\) abzieht, verliert die untere Grenze — der häufigste Fehler bei Intervallen.
Frage: Welche Werte bleiben bei \(P(X\le7)-P(X\le3)\) übrig?Schreibe beide Mengen auf und streiche.
Hilfe: \(\{0,\dots,7\}\) ohne \(\{0,\dots,3\}\) ist \(\{4,\dots,7\}\).
A3
Lückentext: die Treppe
AFB I

Beschreibe das Vorgehen bei kumulierten Wahrscheinlichkeiten — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei „höchstens \(k\)“ werden die Säulen von bis \(k\) addiert; das Ergebnis heißt Wahrscheinlichkeit. Für „mindestens \(k\)“ nutzt man das und rechnet \(1-P(X\le\) \()\). Trägt man \(P(X\le k)\) über \(k\) auf, entsteht eine , die von 0 bis 1 steigt.

\(k+1\) bleibt übrig: Das Gegenereignis zu „mindestens \(k\)“ ist „höchstens \(k-1\)“. Wer bei \(k+1\) oder \(k\) abliest, zieht gesuchte Werte mit ab.
Idee: Der kleinste Wert von \(X\) ist immer 0.Kumuliert heißt: von unten her aufsummiert.
Hilfe: Mindestens 5 — das Gegenteil ist höchstens 4.
A4
Kündigungen im ersten Jahr
AFB II

Ein Mobilfunkanbieter weiß: 12 % der Neukunden kündigen im ersten Jahr. In einer Filiale schließen 40 Personen einen Vertrag ab. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 von ihnen im ersten Jahr kündigen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(P(X\le3)=\text{binomCdf}(40,0.12,0,3)\approx0{,}2768\) (GTR: Bcd, Lower 0, Upper 3, Numtrial 40, p 0,12). Häufiger Fehler: nur \(P(X=3)\approx0{,}1507\) berechnen — „höchstens“ schließt auch 0, 1 und 2 ein.
Ansatz: \(n=40\), \(p=0{,}12\), gesucht \(P(X\le3)\).„Höchstens“ ist direkt ein kumulierter Wert.
Rechner: Bcd mit Lower 0 und Upper 3 bzw. binomCdf(40,0.12,0,3).
A5
Sprache übersetzen
AFB II

\(X\) sei binomialverteilt mit \(n=20\). Ordne jede Formulierung dem passenden Term ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1P(X ≤ 6)
21 − P(X ≤ 6)
31 − P(X ≤ 5)
Die Grenze entscheidet: „mehr als 6“ beginnt bei 7, „mindestens 6“ schon bei 6. Beide Formulierungen klingen ähnlich, unterscheiden sich aber genau um \(P(X=6)\).
Ansatz: Schreibe zu jeder Karte den kleinsten bzw. größten erlaubten Wert.Dann siehst du sofort, ob die 6 dazugehört.
Hilfe: „weniger als 7“ ist dasselbe wie „höchstens 6“.
A6
Rechenkette: Vorspann überspringen
AFB II Mix

Bei einem Streaming-Dienst überspringt ein Nutzer den Serienvorspann mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}3\). Betrachtet werden 25 zufällig ausgewählte Nutzer. Bestimme Schritt für Schritt (vier Nachkommastellen):

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(P(X=7)\)
  2. \(P(X\le7)\)
  3. \(P(X\ge10)\)
  4. \(P(5\le X\le9)\)
\(P(X=7)\approx0{,}1712\) (Bpd bzw. binomPdf). \(P(X\le7)\approx0{,}5118\). \(P(X\ge10)=1-P(X\le9)\approx1-0{,}8106=0{,}1894\). \(P(5\le X\le9)=P(X\le9)-P(X\le4)\approx0{,}8106-0{,}0905=0{,}7201\) — oder direkt Bcd mit Lower 5, Upper 9. Typischer Fehler im dritten Schritt: \(1-P(X\le10)\).
Ansatz: Der erste Schritt ist ein Einzelwert aus 2.3.3, danach wird kumuliert.Jede Frage wird auf „höchstens“ zurückgeführt.
Hilfe: \(P(X\le9)\approx0{,}8106\), \(P(X\le4)\approx0{,}0905\).
A7
Ereignis und Rechnereingabe
AFB II Mix

\(X\) sei binomialverteilt mit \(n=30\) und Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Ordne jedem Ereignis die passende CAS-Eingabe zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
binomCdf nimmt untere und obere Grenze direkt — beide gehören dazu. „Genau 12“ ist deshalb auch \(\text{binomCdf}(30,p,12,12)\), was dasselbe liefert wie binomPdf(30,p,12) aus 2.3.3. Häufigster Fehler: bei „mehr als 12“ mit 12 als unterer Grenze.
Ansatz: Bestimme für jedes Ereignis den kleinsten und den größten Wert.Diese beiden Zahlen sind die Grenzen in binomCdf.
Hilfe: „weniger als 12“: größter Wert 11; „mehr als 12“: kleinster Wert 13.
A8
Ein Intervall planen
AFB III

Bei einer Umfrage wird angenommen, dass jede Person mit \(0{,}3\) zustimmt; befragt werden 40 Personen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8, aber weniger als 15 zustimmen. Plane den Lösungsweg, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Menge der gesuchten Werte notieren: \(\{9,\dots,14\}\)
2Auf „höchstens“ zurückführen: \(P(X\le14)-P(X\le8)\)
3Beide Werte mit dem Rechner bestimmen: \(\approx0{,}8074\) und \(\approx0{,}1110\)
4Differenz bilden: \(\approx0{,}6964\)
5Antwortsatz: Mit etwa 70 % stimmen 9 bis 14 Personen zu.
Wer Schritt 1 überspringt, schreibt schnell \(P(X\le15)-P(X\le8)\) — und hat mit der 15 einen Wert zu viel. Die ausgeschriebene Menge \(\{9,\dots,14\}\) verhindert das.
Frage: Was muss feststehen, bevor du irgendetwas in den Rechner tippst?Welche Werte von \(X\) gesucht sind.
Hilfe: „mehr als 8“ beginnt bei 9, „weniger als 15“ endet bei 14.
A9
Fehlersuche: Fehlbohnen
AFB III

In einer Kaffeerösterei sind 8 % der Rohbohnen Fehlbohnen. Eine Probe enthält 50 Bohnen. Überprüfe die Notizen — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 3 und 5 haben denselben Fehler: Die untere Grenze wird mit abgezogen. Merkregel: Abgezogen wird immer „höchstens eins weniger als die untere Grenze“.
Strategie: Schreibe zu jeder Zeile die Menge der gesuchten Werte.Vergleiche sie mit der Menge, die der Term tatsächlich erfasst.
Hilfe: Bcd: Lower ist der kleinste, Upper der größte gesuchte Wert.
A10
Trickaufgabe — die Mitte zählt
AFB III

Ein Unternehmen lädt jede von 12 Bewerbungen unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\) zum Gespräch ein. Schätze jede Wahrscheinlichkeit ab.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,2, 2 = 0,2 bis 0,35, 3 = 0,35 bis 0,5, 4 = 0,5 bis 0,65, 5 = über 0,65. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 0,25 = über 0,65
mindestens 10 Einladungen
genau 6 Einladungen
mehr als 6 Einladungen
mindestens 6 Einladungen
höchstens 8 Einladungen
Die Falle: Wegen \(p=0{,}5\) klingt „mehr als 6“ nach 50 %. Aber \(X=6\) liegt genau in der Mitte und hat allein \(\approx0{,}226\). Deshalb: \(P(X>6)\approx0{,}387\), \(P(X\ge6)\approx0{,}613\). Weiter: \(P(X\le8)\approx0{,}927\), \(P(X\ge10)\approx0{,}019\).
Ansatz: Die Verteilung ist symmetrisch um 6.\(P(X<6)=P(X>6)\), und dazwischen liegt die große Mittelsäule.
Hilfe: \(P(X>6)=\tfrac{1-P(X=6)}{2}\).