Säulen aufsummieren
Oft fragt man nicht nach genau \(k\) Treffern, sondern nach höchstens \(k\). Dann werden die Säulen von \(0\) bis \(k\) addiert.
- Kumuliert:\(P(X\le k)=B(n;p;0)+B(n;p;1)+\dots+B(n;p;k)\)
- GTR fx-CG50:STAT, F5 (DIST), F5 (BINOMIAL), F2 (Bcd); Lower: 0, Upper: \(k\), Numtrial: \(n\), p: \(p\).
- CAS TI-Nspire:Binomial Cdf im selben Menü; \(\text{binomCdf}(n,p,a,b)=P(a\le X\le b)\).
- Treppe:Trägt man \(P(X\le k)\) über \(k\) auf, entsteht eine Treppe, die von 0 bis 1 steigt.
Kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X\le k)=\sum\limits_{i=0}^{k}B(n;p;i)=\text{binomCdf}(n,p,0,k)\)
Sprache in Formeln übersetzen
Jede Formulierung wird auf „höchstens“ zurückgeführt — dann reicht ein Wert aus der Treppe oder die Differenz zweier Werte.
- höchstens k:\(P(X\le k)\)
- weniger als k:\(P(X\le k-1)\)
- mindestens k:\(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\)
- mehr als k:\(P(X>k)=1-P(X\le k)\)
- zwischen a und b:\(P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)\)
Wähle eine Frage. Schiebe das Messlineal auf die Treppe (ziehen oder Pfeiltasten) und übernimm die Werte, die du für die Rechnung brauchst.
| abgelesen | Wert |
|---|---|
| noch keine Messung | |
Halte fest: Bei „mindestens 5“ liest man bei 4 ab, nicht bei 5 — denn \(X=5\) gehört zu den gesuchten Ergebnissen und darf nicht abgezogen werden.
Allgemeine Hinweise
Grenze genau prüfen
„Mehr als 9“ beginnt bei 10, „mindestens 9“ bei 9. Schreibe die Menge der gesuchten \(k\)-Werte kurz auf.
Gegenereignis nutzen
„Mindestens einer“ geht am schnellsten über \(1-P(X=0)\).
Direkt mit Grenzen
Bcd bzw. binomCdf nehmen untere und obere Grenze: \(P(4\le X\le10)\) mit Lower 4, Upper 10 — ohne Differenz.