Rücksendungen im Online-Handel
AFB I–IIEin Online-Modehändler weiß aus Erfahrung, dass 18 % der bestellten Kleidungsstücke zurückgeschickt werden. An einem Vormittag gehen 60 Bestellungen über je ein Kleidungsstück ein; die Kundinnen und Kunden entscheiden unabhängig voneinander. \(X\) bezeichnet die Anzahl der Rücksendungen.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 10 Kleidungsstücke zurückgeschickt werden.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 8 Kleidungsstücke zurückgeschickt werden.
- Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 15 Kleidungsstücke zurückgeschickt werden.
- Geben Sie das Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch die orange markierten Säulen dargestellt wird, und notieren Sie dazu einen Rechenausdruck mit binomCdf.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(X=10)=\binom{60}{10}\cdot0{,}18^{10}\cdot0{,}82^{50}\approx0{,}1321\).
GTR: Bpd mit x = 10, Numtrial 60, p 0,18; CAS: binomPdf(60,0.18,10).
Mit etwa 13,2 % werden genau 10 Stücke zurückgeschickt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X\le8)=\text{binomCdf}(60,0.18,0,8)\approx0{,}2242\) (GTR: Bcd, Lower 0, Upper 8).
Mit etwa 22,4 % gibt es höchstens 8 Rücksendungen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(X>15)=1-P(X\le15)\approx1-0{,}9379=0{,}0621\).
Mit etwa 6,2 % werden mehr als 15 Stücke zurückgeschickt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Markiert sind die Säulen \(k=9\) bis \(k=14\): Es werden mindestens 9 und höchstens 14 Kleidungsstücke zurückgeschickt.
\(P(9\le X\le14)=\text{binomCdf}(60,0.18,9,14)\approx0{,}6661\), gleichwertig \(P(X\le14)-P(X\le8)\).
Spinning-Kurs im Fitnessstudio
AFB II–IIIEin Fitnessstudio bietet samstags einen Spinning-Kurs an; im Kursraum stehen 30 Räder. Mitglieder melden sich vorher online an. Erfahrungsgemäß erscheint jedes angemeldete Mitglied mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}7\) tatsächlich zum Kurs. \(X\) bezeichnet die Anzahl der erscheinenden Mitglieder; es wird angenommen, dass sie unabhängig voneinander erscheinen.
Bisher lässt das Studio 40 Anmeldungen zu. Die Trainerin sagt, der Kurs lohne sich erst, wenn mindestens 24 Personen kommen. Die Tabelle zeigt für verschiedene Anmeldezahlen \(n\) auf vier Stellen gerundete Wahrscheinlichkeiten.
| Anmeldungen n | P(X ≥ 31) | P(X ≥ 24) |
|---|---|---|
| 34 | 0,0032 | 0,5545 |
| 35 | 0,0091 | 0,6516 |
| 36 | 0,0216 | 0,7365 |
| 37 | 0,0440 | 0,8071 |
| 38 | 0,0795 | 0,8631 |
| 39 | 0,1301 | 0,9056 |
| 40 | 0,1959 | 0,9367 |
- Weisen Sie nach, dass bei 40 Anmeldungen mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 20 % mehr Mitglieder erscheinen, als Räder vorhanden sind.
- Untersuchen Sie für 40 Anmeldungen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich der Kurs lohnt und gleichzeitig jedes erscheinende Mitglied ein Rad bekommt.
- Die Studioleitung möchte das Risiko, dass nicht alle ein Rad bekommen, unter 5 % drücken. Werten Sie die Tabelle im Hinblick auf die größte zulässige Anzahl von Anmeldungen aus.
- Beurteilen Sie, ob die Studioleitung die Anmeldezahl entsprechend senken sollte. Gehen Sie dabei auch auf die Modellannahmen ein.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mehr Mitglieder als Räder: \(X\ge31\).
\(P(X\ge31)=1-P(X\le30)=1-\text{binomCdf}(40,0.7,0,30)\approx1-0{,}8041=0{,}1959\).
Also mit knapp 20 % erscheinen mehr als 30 Mitglieder.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gesucht: \(P(24\le X\le30)=P(X\le30)-P(X\le23)\approx0{,}8041-0{,}0633=0{,}7408\).
GTR: Bcd mit Lower 24, Upper 30, Numtrial 40, p 0,7; CAS: binomCdf(40,0.7,24,30).
Mit etwa 74 % lohnt sich der Kurs und alle bekommen ein Rad.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(X\ge31)\) wächst mit \(n\): Bei \(n=37\) ist sie \(\approx0{,}0440<0{,}05\), bei \(n=38\) schon \(\approx0{,}0795\). Die größte zulässige Anzahl ist also 37 Anmeldungen.
Bei 37 Anmeldungen lohnt sich der Kurs noch mit \(P(X\ge24)\approx0{,}8071\) statt \(\approx0{,}9367\) bei 40 Anmeldungen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für eine Senkung auf 37 spricht: Das Risiko, Mitglieder ohne Rad wegschicken zu müssen, sinkt von rund 20 % auf rund 4 % — an bisher etwa jedem fünften Samstag gäbe es verärgerte Kunden.
Dagegen spricht: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 24 kommen, sinkt von etwa 94 % auf etwa 81 %; der Kurs lohnt sich also häufiger nicht.
Modellkritik: Die Unabhängigkeit ist fraglich (Freundesgruppen melden sich gemeinsam an, bei schönem Wetter oder in Ferien fehlen viele gleichzeitig), und \(p=0{,}7\) kann je nach Jahreszeit schwanken. Ein mögliches Urteil: Die Senkung auf 37 ist vertretbar, weil verärgerte Kunden schwerer wiegen als ein schwächer besuchter Kurs; alternativ könnte das Studio 40 Anmeldungen mit Warteliste zulassen. Beide Urteile sind bei schlüssiger Begründung zulässig.