Varianz und Standardabweichung: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Was misst die Streuung?

AFB I

Varianz \(V(X)\) und Standardabweichung \(\sigma\) beschreiben, wie weit \(X\) um \(\mu\) streut. Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Die gewichtete Summe der unquadrierten Abweichungen ist immer 0 — deshalb wird quadriert. Quadrate sind nie negativ, also ist auch \(V(X)\ge0\). Wer das Quadrieren vergisst, erhält für jede Verteilung die Streuung 0.

Frage: Was ergibt \(\sum(x_i-\mu)\cdot P(X=x_i)\)?Es ist \(\mu-\mu=0\) — die Abweichungen gleichen sich aus.

Hilfe: Quadrate sind nie negativ; \(\sigma\) ist die Wurzel und hat wieder die Einheit von \(X\).

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen zu Varianz und Standardabweichung. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die Einheiten verraten viel: \(V(X)\) hat die quadrierte Einheit und ist deshalb schwer zu deuten — zum Deuten nimmt man immer \(\sigma\).

Frage: Was passiert mit den Abweichungen, wenn alle Werte verschoben werden?Sie bleiben gleich — nur die Lage ändert sich.

Hilfe: Aussage 4: Suche eine Verteilung mit \(\mu=0\).

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Beschreibe die Berechnung der Standardabweichung mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Für jeden Wert bestimmt man zuerst die \(x_i-\mu\). Diese wird , damit sich positive und negative Werte nicht aufheben. Anschließend wird jedes Quadrat mit \(P(X=x_i)\) , und die Summe ergibt die . Die Standardabweichung ist die daraus.

„Betrag“ bleibt übrig: Auch mit Beträgen würden sich die Abweichungen nicht aufheben — die Formel von \(V(X)\) quadriert aber. Wer Beträge nimmt, erhält eine andere Kenngröße als \(\sigma\).

Idee: Folge der Formel von innen nach außen.Abweichung → Quadrat → Gewicht → Summe → Wurzel.

Hilfe: \(\sigma=\sqrt{V(X)}\).

A4

Wie groß ist σ?

AFB II

Ordne jede Verteilung nach ihrer Standardabweichung zu — möglichst ohne lange Rechnung.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1σ = 0

20 < σ < 1

3σ ≥ 1

Bei zwei Werten mit je \(0{,}5\) ist \(\sigma\) genau der halbe Abstand: \(0{,}5\); \(2\); \(5\); \(1\). Die anderen: \(\sqrt{0{,}2}\approx0{,}45\) und \(\sqrt{0{,}09}=0{,}3\). Falle: „9 oder 10“ hat große Werte, aber kleine Streuung — \(\sigma\) hängt nur von den Abständen zu \(\mu\) ab.

Ansatz: Schätze bei jeder Verteilung, wie weit die Werte typischerweise von \(\mu\) entfernt sind.Das ist genau die Bedeutung von \(\sigma\).

Hilfe: Zwei Werte, je \(0{,}5\): Beide liegen den halben Abstand von \(\mu\) entfernt.

A5

Rechenkette: Honig am Hofladen

AFB II

Am Hofladen einer Imkerin ist \(X\) die Anzahl der Gläser, die ein Kunde kauft: \(P(X=1)=0{,}5\), \(P(X=2)=0{,}3\), \(P(X=3)=0{,}2\). Berechne Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(\mu\) Gläser
\((1-\mu)^2\cdot P(X=1)\)
\(V(X)\)
\(\sigma\) Gläser

\(\mu=0{,}5+0{,}6+0{,}6=1{,}7\). \(V(X)=0{,}49\cdot0{,}5+0{,}09\cdot0{,}3+1{,}69\cdot0{,}2=0{,}245+0{,}027+0{,}338=0{,}61\), \(\sigma=\sqrt{0{,}61}\approx0{,}781\). Typischer Fehler: \((1-\mu)\cdot P\) ohne Quadrat — dann wird die Summe am Ende 0.

Ansatz: Erst \(\mu\), dann jede Abweichung einzeln.Ohne \(\mu\) gibt es keine Abweichungen.

Hilfe: Abweichungen: \(-0{,}7\); \(0{,}3\); \(1{,}3\).

A6

Aufschläge im Tennis

AFB II Mix

Ein Tennisspieler bringt den ersten Aufschlag mit 0,6 ins Feld. Misslingt er, gelingt der zweite mit 0,9; misslingt auch dieser, ist es ein Doppelfehler. \(X\) = Anzahl der Fehlversuche pro Ballwechsel, in dem er aufschlägt (0, 1 oder 2). Bestimme die Größen und verbinde.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Pfadregel: \(P(X=1)=0{,}4\cdot0{,}9=0{,}36\), \(P(X=2)=0{,}4\cdot0{,}1=0{,}04\). \(\mu=0{,}36+0{,}08=0{,}44\); \(V(X)=0{,}44^2\cdot0{,}6+0{,}56^2\cdot0{,}36+1{,}56^2\cdot0{,}04\approx0{,}326\); \(\sigma\approx0{,}571\). Häufiger Fehler: \(V(X)\) und \(\sigma\) vertauschen — \(\sigma\) ist die Wurzel, bei Werten unter 1 also größer als \(V(X)\).

Ansatz: Zeichne den zweistufigen Baum; die 2. Stufe gibt es nur nach einem Fehlversuch.Pfadregel wie in 2.1.

Hilfe: \(P(X=0)=0{,}6\); Abweichungen \(-0{,}44\); \(0{,}56\); \(1{,}56\).

A7

σ mit dem GTR

AFB II

Die Verteilung \(x_i=1;\,2;\,4\) mit \(0{,}2;\,0{,}5;\,0{,}3\) soll mit dem GTR (Casio fx-CG50) ausgewertet werden. Stelle die Bedienschritte in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1MENU Statistik öffnen

2Werte 1, 2, 4 in List 1 eintragen

3Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5; 0,3 in List 2 eintragen

4F2 CALC, F6 SET: 1Var XList = List1, 1Var Freq = List2

5EXIT, F1 1-VAR: \(\bar x\) als \(\mu\) und \(\sigma_x\) als \(\sigma\) ablesen

Am häufigsten fehlt der SET-Schritt: Steht bei 1Var Freq noch „1“, rechnet der GTR, als käme jeder Wert gleich oft vor — dann erscheinen \(\bar x\approx2{,}33\) statt \(\mu=2{,}4\) und ein falsches \(\sigma\).

Frage: Woher weiß der Rechner, dass List 2 Gewichte enthält?Das muss man im SET-Menü einstellen, bevor man rechnet.

Hilfe: Öffnen — Werte — Gewichte — einstellen — rechnen.

A8

Wie hoch ist der Rabatt?

AFB III

Beim Bezahlen in einem Online-Shop gibt es mit Wahrscheinlichkeit 0,2 einen Sofortrabatt von \(b\) Euro, sonst nichts. \(X\) ist der Rabatt in Euro; seine Standardabweichung beträgt 4 €. Ermittle \(b\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(\mu=0{,}2b\). \(V(X)=(0-0{,}2b)^2\cdot0{,}8+(b-0{,}2b)^2\cdot0{,}2=0{,}032b^2+0{,}128b^2=0{,}16b^2\), also \(\sigma=0{,}4b=4\) und \(b=10\) €. Typischer Fehler: \(\sigma=4\) mit \(V(X)=4\) verwechseln — dann ergibt sich \(b=5\).

Ansatz: Drücke \(\mu\) und \(V(X)\) durch \(b\) aus.Dann ist \(\sigma\) ein Vielfaches von \(b\).

Hilfe: Abweichungen: \(-0{,}2b\) und \(0{,}8b\).

A9

Fehlersuche im Heft

AFB III

Für \(x_i=0;\,2;\,4\) mit \(0{,}25;\,0{,}5;\,0{,}25\) hat jemand die Streuung untersucht. Überprüfe die Notizen — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 3 ist der Klassiker „Quadrat vergessen“ — das Ergebnis 0 hätte stutzig machen müssen, denn die Werte streuen ja. Zeile 6: Mehr Gewicht auf \(\mu\) selbst bedeutet weniger Streuung.

Strategie: Rechne \(V(X)\) und \(\sigma\) selbst.Dann prüfst du die Deutungen mit deinem Ergebnis.

Hilfe: Zeile 6: \(4\cdot0{,}1+0+4\cdot0{,}1=0{,}8\).

A10

Trickaufgabe — große Zahlen, kleine Streuung

AFB III

Schätze für jede Zufallsgröße (Werte in €) ab, in welchem Bereich \(\sigma\) liegt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = σ = 0, 2 = 0 < σ ≤ 1, 3 = 1 < σ ≤ 3, 4 = 3 < σ ≤ 10, 5 = σ > 10. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = σ = 05 = σ > 10

Man erhält sicher 1000 €.

100 € oder 102 €, je mit \(0{,}5\)

0 € oder 6 €, je mit \(0{,}5\)

0 € mit \(0{,}99\), 100 € mit \(0{,}01\)

\(-20\) € oder \(20\) €, je mit \(0{,}5\)

Die Falle: große Beträge mit großer Streuung verwechseln. 1000 € sicher hat \(\sigma=0\); 100 oder 102 € streuen nur um 1 €. Der seltene 100-€-Treffer ergibt \(\sigma=100\cdot\sqrt{0{,}99\cdot0{,}01}\approx9{,}95\) — groß, aber noch unter 10. Bei \(\pm20\) € ist \(\sigma=20\).

Ansatz: Frage nicht „wie groß sind die Werte?“, sondern „wie weit liegen sie typischerweise von \(\mu\) weg?“.Nur die Abstände zu \(\mu\) zählen für \(\sigma\).

Hilfe: Vierte Zeile: \(\mu=1\), \(V(X)=1^2\cdot0{,}99+99^2\cdot0{,}01=99\).

Übungen: Varianz und Standardabweichung

Übungsaufgaben