Varianz und Standardabweichung

Der Erwartungswert sagt, wo die Verteilung im Mittel liegt — nicht, wie weit die Werte davon abweichen.

• Abweichung:\(x_i-\mu\) für jeden Wert; positive und negative heben sich im Mittel auf.
• Quadrieren:\((x_i-\mu)^2\) macht alle Abweichungen positiv und betont große.
• Varianz:die quadrierten Abweichungen mit \(P(X=x_i)\) gewichten und addieren.
• Standardabweichung:\(\sigma\) ist die Wurzel daraus — wieder in der Einheit von \(X\).

Ein Spiel zahlt \(5-a\), \(5\) oder \(5+a\) Euro aus; die beiden äußeren Werte haben je die Wahrscheinlichkeit \(q\). Verändere \(a\) und \(q\) mit den Reglern: Der Erwartungswert bleibt 5 €, das grüne Band \(\mu\pm\sigma\) nicht.

Halte fest: \(\sigma\) wächst mit dem Abstand der Werte vom Erwartungswert und mit der Wahrscheinlichkeit, mit der diese Werte auftreten.

Tombola aus 2.2.3: \(x_i=-2;\ 3;\ 18\) mit \(0{,}80;\ 0{,}15;\ 0{,}05\) und \(\mu=-0{,}25\).

• Varianz:\(V(X)=(-1{,}75)^2\cdot0{,}8+3{,}25^2\cdot0{,}15+18{,}25^2\cdot0{,}05\approx20{,}69\).
• Standardabw.:\(\sigma=\sqrt{20{,}69}\approx4{,}55\) €.
• Deuten:Der Gewinn weicht typischerweise um etwa 4,55 € vom Mittel ab — ein riskantes Los.
• Vergleich:Bei gleichem \(\mu\) ist das Spiel mit dem kleineren \(\sigma\) das sicherere.

• GTR (Casio fx-CG50):MENU Statistik · Werte in List 1, Wahrscheinlichkeiten in List 2 · F2 CALC · F6 SET: 1Var XList = List1, 1Var Freq = List2 · EXIT F1 1-VAR → \(\bar x\) ist \(\mu\), \(\sigma_x\) ist \(\sigma\).
• CAS (TI-Nspire CX CAS):Calculator: menu Statistik › Statistische Berechnungen › Statistik mit einer Variablen · X1-Liste \(\{-2,3,18\}\), Häufigkeitsliste \(\{0.8,0.15,0.05\}\) → \(\bar x\) und \(\sigma x\) ablesen.