Zwei Wege zur Schule
AFB I–IIMira kann morgens zwischen zwei Busrouten wählen. Aus mehreren Monaten Aufzeichnungen ergeben sich für die Fahrzeit \(A\) bzw. \(B\) in Minuten folgende Modelle:
| Route A: Fahrzeit in min | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|
| Wahrscheinlichkeit | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
Route B ist bei freier Straße sehr schnell, steht aber oft im Stau (siehe Abbildung).
- Berechnen Sie die Erwartungswerte beider Fahrzeiten.
- Bestimmen Sie die Standardabweichungen \(\sigma_A\) und \(\sigma_B\).
- Interpretieren Sie \(\sigma_B\) im Sachzusammenhang.
- Vergleichen Sie die beiden Routen hinsichtlich ihrer Zuverlässigkeit.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E(A)=20\cdot0{,}5+25\cdot0{,}3+30\cdot0{,}2=23{,}5\) min; \(E(B)=15\cdot0{,}6+30\cdot0{,}2+45\cdot0{,}2=24\) min.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(V(A)=3{,}5^2\cdot0{,}5+1{,}5^2\cdot0{,}3+6{,}5^2\cdot0{,}2=6{,}125+0{,}675+8{,}45=15{,}25\), \(\sigma_A\approx3{,}9\) min.
\(V(B)=9^2\cdot0{,}6+6^2\cdot0{,}2+21^2\cdot0{,}2=48{,}6+7{,}2+88{,}2=144\), \(\sigma_B=12\) min.
GTR/CAS liefern dieselben Werte als \(\sigma_x\) bzw. \(\sigma x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Fahrzeit auf Route B weicht typischerweise um etwa 12 Minuten von ihrem Mittelwert 24 Minuten ab — die Fahrzeit schwankt also stark zwischen sehr kurz und sehr lang.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Im Mittel sind beide Routen fast gleich schnell (23,5 bzw. 24 min). Route A ist aber deutlich zuverlässiger: \(\sigma_A\approx3{,}9\) min gegenüber \(\sigma_B=12\) min. Mit A braucht Mira höchstens 30 Minuten, mit B mit Wahrscheinlichkeit 0,2 sogar 45 Minuten.
Open-Air-Kino oder Zelt?
AFB II–IIIEin Verein veranstaltet im Sommer einen Kinoabend. Der Gewinn hängt vom Wetter ab. Für einen Abend im Juli rechnet der Verein nach langjährigen Wetterdaten mit „sonnig“ (0,5), „bewölkt“ (0,3) und „Regen“ (0,2).
| Gewinn in € | sonnig | bewölkt | Regen |
|---|---|---|---|
| Open-Air (Variante O) | 1800 | 600 | −1500 |
| Zelt (Variante Z) | 1000 | 800 | 400 |
Bei Regen muss das Open-Air-Kino abgesagt werden, die Kosten für Technik und Werbung fallen trotzdem an. Das Zelt kostet Miete, schützt aber vor dem Wetter.
- Ermitteln Sie für beide Varianten Erwartungswert und Standardabweichung des Gewinns.
- Deuten Sie die Standardabweichung der Variante O im Sachzusammenhang.
- Eine Woche vor dem Termin sagt der Wetterdienst sonnig mit 0,4, bewölkt mit 0,25 und Regen mit 0,35 voraus. Untersuchen Sie, wie sich Erwartungswert und Standardabweichung beider Varianten dadurch ändern.
- Nehmen Sie begründet Stellung, welche Variante der Verein wählen sollte.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
O: \(\mu_O=1800\cdot0{,}5+600\cdot0{,}3-1500\cdot0{,}2=780\) €; \(V=1020^2\cdot0{,}5+180^2\cdot0{,}3+2280^2\cdot0{,}2=1\,569\,600\), \(\sigma_O\approx1253\) €.
Z: \(\mu_Z=500+240+80=820\) €; \(V=180^2\cdot0{,}5+20^2\cdot0{,}3+420^2\cdot0{,}2=51\,600\), \(\sigma_Z\approx227\) €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Gewinn der Open-Air-Variante weicht typischerweise um etwa 1250 € von ihrem Mittel 780 € ab — er reicht von einem hohen Gewinn bis zu einem deutlichen Verlust. Die Standardabweichung ist größer als der Erwartungswert selbst.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
O: \(\mu_O=720+150-525=345\) €, \(\sigma_O\approx1433\) €.
Z: \(\mu_Z=400+200+140=740\) €, \(\sigma_Z\approx262\) €.
Der Erwartungswert von O sinkt stark (um 435 €), die Streuung steigt; beim Zelt sinkt der Erwartungswert nur um 80 €, die Streuung steigt leicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Das Zelt ist in beiden Szenarien im Mittel mindestens so gut wie Open-Air (820 € gegen 780 € bzw. 740 € gegen 345 €) und dabei viel weniger riskant; es gibt keinen Verlust.
Für O spricht nur der höhere mögliche Gewinn von 1800 € bei Sonne. Ein Verein, der sich einen Verlust von 1500 € nicht leisten kann, sollte deshalb das Zelt wählen; nach der Wetterprognose gilt das umso mehr.
Ein anderes Urteil wäre höchstens vertretbar, wenn der Verein Rücklagen hat und das Open-Air-Erlebnis selbst als Wert ansieht — mit Blick auf \(\mu\) und \(\sigma\) spricht aber alles für Z.