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Übungen: Simulation und Verteilung

Zufallszahlen, randBin und viele Ketten — die Simulation nähert sich dem Modell, erreicht es aber nie ganz.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was leistet eine Simulation?
AFB I

Eine Bernoulli-Kette wird mit dem Rechner viele Male simuliert. Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Eine Simulation liefert Näherungswerte — und nach wenigen Ketten weichen sie oft stark ab. Erst sehr viele Wiederholungen stabilisieren die relativen Häufigkeiten. Exakt sind nur die Werte der Binomialverteilung.
Frage: Ist eine Simulation ein Modell oder ein (nachgespieltes) Experiment?Sie spielt das Experiment nach — mit allen Zufallsschwankungen.
Hilfe: Zwei Aussagen behaupten Exaktheit — genau die sind falsch.
A2
Stimmt's? — Zufallszahlen deuten
AFB I

Fünf Behauptungen zum Simulieren einer Bernoulli-Kette mit \(p=0{,}15\). Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die zweite Aussage ist die klassische Verwechslung: Treffer sind die Zufallszahlen unterhalb von \(p\) — genau 15 % aller Zahlen zwischen 0 und 1.
Frage: Welcher Anteil aller Zahlen zwischen 0 und 1 liegt unter 0,15?Genau 15 % — das ist die Trefferwahrscheinlichkeit.
Hilfe: randBin(n,p) liefert Werte von 0 bis \(n\).
A3
Lückentext: eine Simulation dokumentieren
AFB I

Beschreibe mit Fachbegriffen, wie eine Simulation aufgebaut ist — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Für eine Stufe zieht man eine zwischen 0 und 1; sie zählt als Treffer, wenn sie kleiner als die \(p\) ist. \(n\) solche Stufen bilden eine ; die Anzahl ihrer Treffer ist ein simulierter Wert der \(X\). Nach vielen Ketten nähert sich die \(h(X=k)\) der Wahrscheinlichkeit \(B(n;p;k)\).

„Standardabweichung“ bleibt übrig. Häufig wird \(h(X=k)\) fälschlich „Wahrscheinlichkeit“ genannt — es ist eine relative Häufigkeit aus der Simulation, die sich der Wahrscheinlichkeit nur annähert.
Idee: Gehe von der kleinsten Einheit (eine Stufe) zur Auswertung.Stufe — Kette — Wert von \(X\) — Auswertung.
Hilfe: Die letzte Lücke beschreibt ein Ergebnis der Simulation, kein Modell.
A4
Mittelwert einer Simulation
AFB II

Mit randBin(8,0.35) wurden 50 Ketten simuliert. Die Trefferzahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6 traten 2-, 6-, 11-, 14-, 10-, 5- und 2-mal auf (7 und 8 nie). Berechne den Mittelwert \(\bar x\) der simulierten Trefferzahlen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\bar x=\tfrac{0\cdot2+1\cdot6+2\cdot11+3\cdot14+4\cdot10+5\cdot5+6\cdot2}{50}=\tfrac{147}{50}=2{,}94\) — nahe bei \(\mu=8\cdot0{,}35=2{,}8\). Typischer Fehler: durch 7 (Anzahl der Werte) statt durch 50 (Anzahl der Ketten) teilen.
Ansatz: Jede Trefferzahl zählt so oft, wie sie vorkommt.Gewichteter Mittelwert: Summe aus Wert mal Anzahl, geteilt durch die Gesamtzahl.
Rechnung: Die Summe der Produkte ist 147. Rechnerisch geht es auch mit 1-VAR (List1: Werte, List2: Anzahlen) bzw. „Statistik mit einer Variablen“.
A5
Simulation oder Modell?
AFB II

Zur Kette mit \(n=8\), \(p=0{,}35\) aus A4 gibt es Werte aus der Simulation und Werte aus dem Modell. Ordne jede Karte ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Simulation (Häufigkeit)
2Modell (Wahrscheinlichkeit)
\(h(X=3)=\tfrac{14}{50}=0{,}28\) liegt zufällig sehr nahe an \(0{,}279\) — trotzdem ist es eine Häufigkeit. Wer ähnliche Zahlen in denselben Korb legt, verwechselt Beobachtung und Modell.
Ansatz: Frage bei jeder Karte: Wurde gezählt oder gerechnet?Gezählt = Simulation, mit Formel gerechnet = Modell.
Hilfe: Was sich bei jeder Wiederholung ändert, kann kein Modellwert sein.
A6
Simuliertes Elfmeterschießen
AFB II Mix

Eine Torhüterin hält einen Elfmeter mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}25\). 200 Elfmeterschießen mit je 5 Schüssen wurden simuliert; \(X\) = Anzahl gehaltener Elfmeter. Sie hielt 49-mal keinen, 80-mal einen, 52-mal zwei, 16-mal drei und 3-mal vier Elfmeter. Bestimme Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten (auf vier Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(h(X=0)\)
  2. \(P(X=0)\)
  3. \(h(X\ge2)\)
  4. \(P(X\ge2)\)
Simulation und Modell liegen nahe beieinander, aber nicht gleich — 200 Wiederholungen sind nicht „unendlich viele“. Fehlerquelle bei \(P(X\ge2)\): \(1-P(X\le2)\) statt \(1-P(X\le1)\) rechnen.
Ansatz: Häufigkeit: Anzahl durch 200. Wahrscheinlichkeit: Binomialverteilung mit \(n=5\), \(p=0{,}25\).Für „mindestens 2“ über das Gegenereignis „höchstens 1“ gehen.
Hilfe: \(P(X\ge2)=1-\text{binomCdf}(5,0.25,0,1)\); \(h(X\ge2)=\tfrac{52+16+3}{200}\).
A7
Befehl und Bedeutung
AFB II Mix

Fünf Rechnerbefehle bzw. Auswertungen zu einer Kette mit \(n=30\), \(p=0{,}2\). Ordne jedem die passende Bedeutung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Nur die beiden binom-Befehle liefern exakte Werte; RanBin# und randBin erzeugen Zufallsergebnisse. Häufig verwechselt: binomPdf (genau \(k\)) und binomCdf (höchstens \(k\)).
Ansatz: Unterscheide zwischen „erzeugt einen Zufallswert“ und „berechnet eine Wahrscheinlichkeit“.Ran/rand steht für random — Zufall.
Hilfe: Pdf: einzelne Säule; Cdf: kumuliert.
A8
Wenn keine Formel hilft
AFB III

Eine Volleyballerin bringt jeden Aufschlag mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}7\) ins Feld. Wie wahrscheinlich ist es, dass unter 20 Aufschlägen irgendwo 5 gelungene direkt hintereinander vorkommen? Plane eine Simulation, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Festlegen: Zufallszahl \(z<0{,}7\) bedeutet „Aufschlag gelingt“
220 Zufallszahlen erzeugen — eine simulierte Serie
3Prüfen, ob in der Serie 5 Treffer direkt hintereinander vorkommen
4Viele Serien simulieren, z. B. 1000
5Relative Häufigkeit der Serien mit Fünferfolge als Schätzwert angeben
Die typische Fehlidee: RanBin#(20,0.7) benutzen. Dieser Befehl liefert nur die Anzahl der Treffer, nicht ihre Reihenfolge — ob fünf direkt hintereinander liegen, sieht man daran nicht. Hier braucht man die einzelnen Zufallszahlen.
Frage: Reicht die Anzahl der gelungenen Aufschläge, um die Frage zu beantworten?Nein — es kommt auf die Reihenfolge an.
Hilfe: Vom Einzelnen zum Ganzen: Stufe — Serie — Prüfen — Wiederholen — Auswerten.
A9
Fehlersuche: Keimtest im Topf
AFB III

Samen keimen mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}85\). Ein Schüler simuliert 100 Töpfe mit je 12 Samen und schreibt einen Bericht. Überprüfe ihn — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 6 ist der gefährlichste Fehler: Was in einer Simulation nicht vorkommt, ist nicht unmöglich. Bei \(P(X\le7)\approx0{,}024\) erwartet man in 100 Töpfen nur etwa 2 solche Töpfe — dass es 0 sind, ist gut möglich.
Strategie: Unterscheide in jeder Zeile: Aussage über die Simulation oder über das Modell?Aus Häufigkeiten darf man nur Schätzwerte ableiten.
Hilfe: \(\mu=12\cdot0{,}85=10{,}2\); CAS: binomCdf(12,0.85,0,7).
A10
Trickaufgabe — was ist hier ein Treffer?
AFB III

Für eine Stufe wird eine Zufallszahl \(z\) zwischen 0 und 1 gezogen, in der letzten Zeile zwei. Schätze ein, welche Trefferwahrscheinlichkeit jede Regel simuliert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,2, 2 = 0,2 bis 0,35, 3 = 0,35 bis 0,45, 4 = 0,45 bis 0,6, 5 = über 0,6. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 0,25 = über 0,6
Treffer, wenn \(z>0{,}3\)
Treffer, wenn \(0{,}2\le z<0{,}5\)
Treffer, wenn \(z<0{,}3\) oder \(z>0{,}9\)
Treffer, wenn die erste Nachkommastelle von \(z\) gerade ist
Treffer, wenn beide von zwei Zufallszahlen kleiner als \(0{,}1\) sind
Die Falle steckt in Zeile 1: Die Zahl 0,3 in der Regel heißt nicht \(p=0{,}3\) — über 0,3 liegen 70 % aller Zahlen. Maßgeblich ist immer die Länge des Treffer-Bereichs: \(0{,}7\); \(0{,}3\); \(0{,}3+0{,}1=0{,}4\); \(\tfrac5{10}=0{,}5\); \(0{,}1\cdot0{,}1=0{,}01\).
Ansatz: Zeichne die Strecke von 0 bis 1 und markiere den Treffer-Bereich.Seine Länge ist die Trefferwahrscheinlichkeit.
Hilfe: Gerade Ziffern: 0, 2, 4, 6, 8. Zwei Zufallszahlen: Pfadregel.